求值域的10种方法

求 函 数 值 域 的 十 种 方 法一 ．直 接 法 （ 观察 法 ） ： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1．求函数1yx的值域。【解析】 0x，∴11x，∴函数1yx的值域为 [1,) 。【练习】1．求下列函数的值域：①32( 11)yxx；②xxf42)(；③1xxy；○4112xy，2,1,0,1x。【参考答案】① [ 1,5]；② [2,) ；③ (,1)(1,) ；○4 { 1,0,3} 。二 ．配 方 法 ：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2( )( )( )F xafxbfxc 的函数的值域问题，均可使用配方法。例 2．求函数242yxx（[ 1,1]x）的值域。【解析】2242(2)6yxxx。 11x，∴321x，∴21(2)9x，∴23(2)65x，∴35y。∴函数242yxx（[ 1,1]x）的值域为 [ 3,5] 。例 3．求函数)4,0(422xxxy的值域。【解析】 本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf，从而得出：0,2y。说明： 在求解值域 (最值 )时，遇到分式、 根式、 对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(xf。例 4．若,42yx0,0 yx，试求yxlglg的最大值。【分析与解】 本题可看成第一象限内动点( , )P x y 在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点 (4,0) ， (0,2) 确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lglglglg[ (42 )]lg[ 2(1)2]xyxyxyyyy而，y=1 时，yxlglg取最大值2lg。【练习】2．求下列函数的最大值、最小值与值域：①142xxy；②]4,3[,142xxxy；③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；○5xxxy422，]4,41[x；○6223yxx。【参考答案】① [ 3,) ；② [ 2,1]；③ [ 2,1]；④ [ 3,6] ；○573[6,]4；○6 [0,2]三 ．反 函 数 法 ：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型： 分子、 分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5．求函数12xxy的值域。分析与解： 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x ，从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2，故函数的值域为(,2)(2,) 。【练习】1 ．求函数2332xyx的值域。2 ．求函数axbycxd，0,dcxc的值域。【参考答案】 1 ．22(,)(,)33； (,)(,)aacc。四 ．分 离 变 量 法 ：适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，...