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求值域的10种方法

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求 函 数 值 域 的 十 种 方 法一 .直 接 法 ( 观察 法 ) : 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例 1.求函数1yx的值域。【解析】 0x,∴11x,∴函数1yx的值域为 [1,) 。【练习】1.求下列函数的值域:①32( 11)yxx;②xxf42)(;③1xxy;○4112xy,2,1,0,1x。【参考答案】① [ 1,5];② [2,) ;③ (,1)(1,) ;○4 { 1,0,3} 。二 .配 方 法 :适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2( )( )( )F xafxbfxc 的函数的值域问题,均可使用配方法。例 2.求函数242yxx([ 1,1]x)的值域。【解析】2242(2)6yxxx。 11x,∴321x,∴21(2)9x,∴23(2)65x,∴35y。∴函数242yxx([ 1,1]x)的值域为 [ 3,5] 。例 3.求函数)4,0(422xxxy的值域。【解析】 本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:)0)((4)(2xfxxxf配方得:)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf,从而得出:0,2y。说明: 在求解值域 (最值 )时,遇到分式、 根式、 对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(xf。例 4.若,42yx0,0 yx,试求yxlglg的最大值。【分析与解】 本题可看成第一象限内动点( , )P x y 在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点 (4,0) , (0,2) 确定一条直线,作出图象易得:2(0,4),(0,2),lglglglg[ (42 )]lg[ 2(1)2]xyxyxyyyy而,y=1 时,yxlglg取最大值2lg。【练习】2.求下列函数的最大值、最小值与值域:①142xxy;②]4,3[,142xxxy;③]1,0[,142xxxy;④]5,0[,142xxxy;○5xxxy422,]4,41[x;○6223yxx。【参考答案】① [ 3,) ;② [ 2,1];③ [ 2,1];④ [ 3,6] ;○573[6,]4;○6 [0,2]三 .反 函 数 法 :反函数的定义域就是原函数的值域,利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域。适用类型: 分子、 分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5.求函数12xxy的值域。分析与解: 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x ,从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2,故函数的值域为(,2)(2,) 。【练习】1 .求函数2332xyx的值域。2 .求函数axbycxd,0,dcxc的值域。【参考答案】 1 .22(,)(,)33; (,)(,)aacc。四 .分 离 变 量 法 :适用类型 1:分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法,...

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