求数列通项公式和前n项和方法总汇

1 求数列通项公式的常用几种方法数列知识是高考中的重要考察内容, 而数列的通项公式又是数列的核心内容之一 , 它如同函数中的解析式一样, 有了解析式便可研究起性质等 ; 而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N 项和等 .因此, 求数列的通项公式往往是解题的突破口, 关键点 . 故将求数列通项公式的方法做一总结, 希望能对广大考生的复习有所帮助. 下面就谈谈求数列通项公式的几种方法：1、类型 1 )(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法 (逐差相加法) 求解。例: 已知数列na满足211a，nnaann211，求na 。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分 别 令)1(,,3,2,1nn， 代 入 上 式 得)1(n个 等 式 累 加 之 ， 即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111，211a，nna n12311212、类型 2 nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法 ( 逐商相乘法 )求解。例: 已知数列na满足321a，nnanna11，求na 。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32例: 已知31a，nnanna23131)1(n，求na 。解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3annnnan2 34 375 26331 348 531nnnnn。3、类型 3 qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1((ppq）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例: 已知数列na中，11a，321nnaa，求na . 解 ： 设 递 推 公 式321nnaa可 以 转 化 为)(21tatann即321ttaann. 故递推公式为)3(231nnaa, 令3nnab，则4311ab, 且23311nnnnaabb. 所以nb是以41b为首项，2 为公比的等比数列，则11224nnnb, 所以321nna. 变式: 递推式：nfpaann 1。解法：只需构造数列nb，消去nf带来的差异 ．4、类型 4 nnnqpaa1（其中 p，q 均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq , 其中 p，q, r均为常数）。解 法 ： 一 般 地 ， 要 先 在 原 递 推 公 式 两 边 同 除 以1nq， 得 ：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。例: 已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na 。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n 得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2， 则1321nnbb, 解 之 得 ：nnb)32(23所 以nnnnnba)31(2)21(325、类型 5 递推公式...