1 求数列的通项公式之常用方法湖北省建始县民族高级中学胡贻富一、观察法例 1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1），9910，638，356，154，321(2n)2na2n，Nn（2），9933，6317，359，311，1(2n)121)(a2nnn，Nn（3），，，，，，，，07105103101nπ2nsina n或nπ21ncosa n，Nn（4）777,...7,77,777,71)(1097ann，Nn（5）5,1,3,6,10,11)n(n21an，Nn（6）b,...a,b,a,b,a,2ab1)(2baann或.,为偶数为奇数，nb,naanNn二、公式法(1) 、已知数列na为等差数列，公差为 d ，则数列na的通项公式m)d(na1)d(naam1n（Nmn，，nm）；(2) 、 已 知 数 列na为 等 比 数 列 ， 公 比 为 q ， 则 数 列na的 通 项 公 式mnm1n1nqaqaa（Nmn，，nm）；(3) 、已知数列na的前 n 项和为nS ，则2.n,S-S1，n,Sa-1nn1n例 2已知数列na的前 n项和为nS ，根据下列条件分别求它们的通项na . （1）3n2nS2n；（2）13Snn. 解：（1）当1n时，51312Sa211；当2n时，14n1)3(n1)2(n3n2nSSa221nnn][，显然5a1满足14na n. 故数列na的通项公式14na n，Nn. （2）当1n时，413Sa111；当2n时，1n1nn1nnn321)(313SSa. 显然4a1不满足1nn32a. 故数列na的通项公式2.n,321,n4,a1nn例 3、已知正项数列na满足41)(aS2nn，求数列na的通项公式 . 方法一（消nS 留na ）当1n时，1211a41)(aS，∴1a1. 2 当2n时，41)(a41)(aSSa21n2n1nnn，整理得，02)a)(aa(a1nn1nn， 数列na是正项数列，∴0aa1nn，∴21nnaa（2n），故数列na是以首项1a1，公差为 2 的等差数列，∴数列na的通项公式12n21)(n1a n，Nn. 方法二（消na 留nS ）根据题意可知，1S2ann，Nn. 当2n时，1nnnSSa，∴1S2n=1nnSS，整理得，01)SS1)(SS(1nn1nn， 0an，1S1，∴01SS1nn，则01SS1nn，即11nnSS（2n）. 故数列nS是以1S1为首项，1 为公差的等差数列，∴n1)1n(1nS，Nn. 故12nan，Nn. 三、累加法例 4 已知数列na的首项为 3，nb为等差数列且n1nnaab，Nn. 若2b 3，1210b，求数列na的通项公式 . 解：设等差数列nb的公差为 d . 2b 3，1210b，∴22db 1且129db 1，解得61b，2d. 故等差数列nb的通项公式为8n2nb，Nn. ∴82naan1n，Nn. 因此，82aa112，82aa223，832aa34，⋯⋯8n2aann)2(218n2aann)1(1，将上面的式子相加得，1)8(n1)n...322(1aa1n，即89nn1)8(n21)1)(nn(123a2n，∴119nna2n，Nn. 【题后悟道】 对形如f(n)aa1nn（2n）或f(n)aann 1...
