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求数列通项公式的八种方法

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求数列通项公式的八种方法一、公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于:1( )nnaaf n若1( )nnaaf n (2)n,则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf nLL两边分别相加得111( )nnkaaf n例 1 已知数列 {}na满足11211nnaana,,求数列 {}na的通项公式。解:由121nnaan得121nnaan则所以数列 {}na的通项公式为2nan 。例 2 已知数列 {}na满足112313nnnaaa,,求数列 {}na的通项公式。解法一:由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnLLL所以31.nnan解法二:13231nnnaa两边除以13n,得111213333nnnnnaa,则111213333nnnnnaa,故因此11 (1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann,则21133.322nnnan2、累乘法适用于:1( )nnaf n a若1( )nnaf na,则31212(1)(2)( )nnaaafff naaaL L,,,两边分别相乘得,1111( )nnkaaf ka例 3 已知数列 {}na满足112(1)53nnnanaa,,求数列 {}na的通项公式。解:因为112(1)53nnnanaa,,所以0na,则12(1)5nnnana,故1321122112211(1) (2)2 1(1)12[2(1 1)5][2(2 1)5][2(21) 5 ][2(11) 5 ] 32[ (1)3 2] 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nnLLLL所以数列 {}na的通项公式为(1)12325!.n nnnan三、待定系数法适用于1( )nnaqaf n分析:通过凑配可转化为1121( )[( )]nnaf naf n; 解题基本步骤:1、确定( )f n2、设等比数列1( )naf n,公比为23、列出关系式1121( )[( )]nnaf naf n4、比较系数求1,25、解得数列1( )naf n的通项公式6、解得数列na的通项公式例 4 已知数列 {}na中,111,21(2)nnaaan,求数列na的通项公式。解法一:121(2),nnaanQ又112,1naaQ是首项为 2,公比为 2 的等比数列12nna,即21nna解法二:121(2),nnaanQ两式相减得112()(2)nnnnaaaan,故数列1nnaa是首项为2,公比为 2 的等比数列,再用累加法的⋯⋯例 5已知数列 {}na满足11124 31nnnaaa,,求数列na的通项公式。解法一:设11123(3nnnnaa) ,比较系数得124,2 ,则数列14 3nna是首项为1 114 35a,公比为 2 的等比数列,所以114 35 2nnna,即114 35 2nnna解法二:两边同时除以13n得:1122433 33nnnnaa,下面解法略注意: 例 6 已知数列 {}na满足21123451nnaanna,,求数列 {}na的通项公式。解: 设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz比较...

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