求数列通项公式的八种方法

求数列通项公式的八种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：1( )nnaaf n若1( )nnaaf n (2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf nLL两边分别相加得111( )nnkaaf n例 1 已知数列 {}na满足11211nnaana，，求数列 {}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则所以数列 {}na的通项公式为2nan 。例 2 已知数列 {}na满足112313nnnaaa，，求数列 {}na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnLLL所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故因此11 (1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan2、累乘法适用于：1( )nnaf n a若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaaL L，，，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka例 3 已知数列 {}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列 {}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1) (2)2 1(1)12[2(1 1)5][2(2 1)5][2(21) 5 ][2(11) 5 ] 32[ (1)3 2] 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nnLLLL所以数列 {}na的通项公式为(1)12325!.n nnnan三、待定系数法适用于1( )nnaqaf n分析：通过凑配可转化为1121( )[( )]nnaf naf n; 解题基本步骤：1、确定( )f n2、设等比数列1( )naf n，公比为23、列出关系式1121( )[( )]nnaf naf n4、比较系数求1，25、解得数列1( )naf n的通项公式6、解得数列na的通项公式例 4 已知数列 {}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解法一：121(2),nnaanQ又112,1naaQ是首项为 2，公比为 2 的等比数列12nna，即21nna解法二：121(2),nnaanQ两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为2，公比为 2 的等比数列，再用累加法的⋯⋯例 5已知数列 {}na满足11124 31nnnaaa，，求数列na的通项公式。解法一：设11123(3nnnnaa) ，比较系数得124,2 ，则数列14 3nna是首项为1 114 35a，公比为 2 的等比数列，所以114 35 2nnna，即114 35 2nnna解法二：两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa，下面解法略注意： 例 6 已知数列 {}na满足21123451nnaanna，，求数列 {}na的通项公式。解： 设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz比较...