关于范数的理解或定义

I、向量的范数 向量xR n 的范数f(x)是定义在R n 空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数： 1  对于所有的x≠ 0,xR n 有 f(x)>0; (非负性） 2  对于所有的 R 有 f( x） =  f(x); （正齐性） 3  对于所有的x,yR n 有 f(x+y)f(x)+f(y). （三角不等式） 一、 一般情况下，f(x)的具体模式如下： px = pnipix11)(， p 1 也称它为p-范数。 下证p-范数满足上述的三个性质： 1、对于所有的xR n ， x≠ 0，pnipix11)(显然是大于0 的，故性质1  成立。 2、 由px = pnipix11)( = pnipix11)( = px 知性质2  成立。 3、欲验证性质3  ，我们的借助下列不等式： 设 p>1,q>1,且p1 + q1 = 1，则对所有的0,有  qpqp 证： 考虑函数ptptt1)(，因为)1(1)(11'ptpt，由 t'=0 t=1,又因为01)1(''pq，所以当t = 1 的时候)(t取最大值，则有： ppttp111， 令t = qp,代入可得： qppqppqp1111, 化简之后即得：  qpqp 证毕！ 又令)(1ipxxpi，)(1iqyyqi，代入上不等式可得： )()(iqiipiyyxxqqpp )()(11yxyxiqipqpii ，两边同时对i求和，并利用 关系式p1 + q1 = 1 可知： )()(11)()(1yxyxyyxxiqipiqiipiqpiiqqpp 从而有： )()(11yxyxiqipqpii 另一方面，又有： yxyxyxiippiiii1 )(1yxyxiipii  yyxxyxipipiiii11   yyxxyxipiiqpipiiqppqpq111111   yxyxipippiiqppq1111   yxyxipippiippq111 左右两边同时除以yxiipq1得：    yxyxipipiipppp111。 由此可知：p-范数对于性质 3  也是成立。（把这个也弄懂了，好高兴！） 下面是几种p-范数的特例： 1  1x = niix1; (此时p=1) 2  2x = 2112)(niix; (此时p=2) 3  x = ni1maxix ; (此时p= ) 对于这第三种的特例，事实上，设 = x= ni1maxix ，有 plimpx = plimpnipix11)( =  即是...