- 1 - 第十五讲 乘法公式 一、内容提要 1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2 立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广： ① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2 倍。 ② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） （a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ………… 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数 (a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n (a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： - 2 - （a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+… ＋abn－2+bn－1)=an－bn 4. 公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 由公式的推广③ 可知：当n 为正整数时 an－bn 能被a－b 整除, a2n+1+b2n+1 能被a+b 整除, a2n－b2n 能被a+b 及a－b 整除。 二、例题 例1. 已知x+y=a xy=b 求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③ x4+y4 ④x5+y5 解： ①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b ②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab ③ x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2 ④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4) =(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］ =a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］ ＝a5－5a3b+5ab2 例2. 求证：四个连续整数的积加上1 的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a, a+1, ...
