1 习题1 如图，P 为等边△ABC 内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以 AP、BP、CP 为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数． 解：将△APC 绕点A 顺时针旋转 60°得△AQB，则△AQB≌△APC ∴BQ=CP，AQ=AP， ∠1+∠3=60°， ∴△APQ 是等边三角形， ∴QP=AP， ∴△QBP 就是以 AP，BP，CP 三边为边的三角形， ∠APB=113°， ∴∠6=∠APB-∠5=53°， ∠AQB=∠APC=123°， ∴∠7=∠AQB-∠4=63°， ∴∠QBP=180°-∠6-∠7=64°， ∴以 AP，BP，CP 为边的三角形的三内角的度数分别为64°，63°，53°． 习题3 P 是 等 边 △ABC 中 的 一点，PA=2,PB=2 倍根号 3，PC=4，则BC 的 边 长是 多少？ 把△APC 绕点A 顺时针旋转 60°到△AMB，则 AM=AP=2，BM=PC=4,∠PAM=60° 连结 PM，则△PAM 是等边三角形，∴PM=2 在△PBM 中，PM²+PB²=2²+(2√ 3)²=16 2 BM²=4²=16 ∴PM²+PB²=BM² ∴△PBM 是直角三角形，∠BPM=90° ∴∠APB=90°+60°=150° 过 A 作 AD⊥BP 交 BP 的延长线于 D，则∠APD=30° ∴AD=1,PD=√3 ∴AB²=1²+（3√3)²=28 ∴BC=AB=2√7 习题 4 已知四边形abcd 中,ab=ad,∠bad=60°,∠bcd=120°,证明 bc+dc=ac 证明： 连接 BD，延长 BC 到点 E，使 CE=CD，连接 DE AB=AD，∠BAD=60°，AB=AD ∴△ABD 是等边三角形 ∴∠ADB=60°，AD=BD ∠BCD=120° ∴∠DCE=60° ∴△DCE 是等边三角形 ∴∠CDE=60°，DC=DE ∴∠ADC=∠BDE ∴△ACD≌ △BDE ∴AC=BE=BC+CD 3 习 题 5 如 图 ,己 知 在 △ABC 中 ,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 是 BC 上 的 任 意 一点 ,探 究BD²+CD²与 AD²的 关 系 证 明 ： 作 AE⊥BC 于 E， 如 图 所 示 ： 由 题 意 得 ： ED=BD-BE=CE-CD， 在 △ABC 中 ， ∠BAC=90°， AB=AC， ∴BE=CE= 1/2BC， 由 勾 股 定 理 可 得 ： AB²+AC²=BC²， AE²=AB²-BE²=AC²-CE²， AD²=AE²+ED²， ∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（ BD-BE） ²+AC²-CE²+（ CE-CD） ² =AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE =AB²+AC²+BD²+CD²-2× 1/2BC×BC =BD²+CD²， 即 ： BD²+CD²=2AD²． 4 习 题 6 D,E 是 等 腰 直 角 三角 形 斜 边 BC 所 在 直 线 上 的 两 点 ， 满足 ∠DAE=135°...
