北航数值分析大作业第二题QR分解

数值分析第二题 梁进明 SY0906529 算法设计方案。 一．矩阵的 QR 分解。把矩阵 A 分解为一个正交矩阵 Q 与一个上三角矩阵 R 的乘积，称为矩阵 A 的正三角分解，简称 QR 分解。QR 分解的算法如下： 记1AA，并记[]rijn nAra，令1QI（n 阶单位矩阵） 对于 r=1,2,…,n-1 执行 (1) 若(1,2,..., )rirairrn全为零，则令1rrQQ ，1rrAA 转(5);否则转(2) (2) 计算 ( )2()nrriri rda  ( )sgn()rrrrrcad (若( )0rrra,则取rrcd) 2( )rrrrrrhcc a (3) 令( )( )( )1,(0,...,0,,,...,)rrrTnrrrrrrnruac aaR (4) 计算 11//rrrTrrrrrTrrrrTrrrrQ uQQuhpA uhAAu p (5) 继续 当此算法执行完后就得到正交矩阵nQQ和上三角矩阵nRA且有 AQR。 二．矩阵的 拟上三角化。对实矩阵 A 的拟上三角化具体算法如下： 记(1)AA，并记( )rA的第r列到第n 列的元素为(1,2,..., ;,1,..., )rija in jr rn。 对于1,2,...,2rn执行 （1） 若( )(2,3,..., )rirairrn全为零，则令(1)( )rrAA,转(5);否则转(2)。 （2） 计算 ( )21( )( )1,1,2( )1,()sgn()(0,)nrriri rrrrrrrrrrrrrrrrrdacadacdhcc a  若则取 （3） 令( )( )( )1,2,(0,...,0,,,...,)rrrTnrrrrrrnruac aaR （4） 计算 ( )( )(1)( )///r TrrrrrrrTrrrrrrrrrrTTrrrrpAuhqA uhtp uhqt uAAuu p （5） 继续 算法执行完后，就得到与原矩阵A 相似的拟上三角矩阵(1)nA 。 三．带双步位移的QR方法求实矩阵n nAR 全部特征值的具体算法如下： （1） 使用矩阵的拟上三角化的算法把矩阵n nAR 化为拟上三角矩阵(1)nA ；给定精度水平0 和迭化最大次数 L。 （2） 记(1)(1)1[]nijn nAAa，令1,kmn。 （3） 如果( ),1km ma，则得到A 的一个特征值( )kmma，置:1mm （降阶），转（4）；否则转（5）。 （4） 如果1m ,则得到A 的一个特征值( )11ka，转(11)；如果0m ,则直接转(11);如果1m 转（3）。 （5） 求二阶子阵 ( )( )1,11,( )( ),1, kkmmmmkkkm mm maaDaa  的两个特征值1s 和2s ，即计算二次方程 2( )( )1,1,( )det0kkmmm mkaaD...