函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。②要掌握常见的几种函数式变形求极限。③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。二、典型例题例1．求极限①②③④解析：①。②。③。④。例2．已知，求m,n。解：x2+mx+2含有x+2这个因式∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴m=3代入求得n=-1。例3．讨论的连续性。解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴f(x)在x=1处连续。由，从而f(x)在点x=-1处不连续。∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。1例4．已知函数,(a,b为常数)。试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。解析：∵且，∴，∴a=1,b=0。例5．求极限①②解析：①。②。例6．设，问常数k为何值时，有存在？解析：∵，。要使存在，只需，∴2k=1，故时，存在。例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由，，∵，∴f(x)在x=-1处极限不存在。训练题：1．，则2．的值是_______。3.，则=______。4，2a+b=0，求a与b的值。25．已知，求a的值。参考答案：1.32.3.4.a=2,b=-45.a=0在线测试选择题2．和存在是函数存在的（）。A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件3．，则下列结论中不正确的是（）。A、B、C、f(x0)=aD、f(x0)可能不为a4．设，若存在，则常数b的值是（）。A、0B、1C、-1D、e5．对于函数，给定下列命题①②③④其中正确的是（）。A、①和②B、③和④C、①②③④都成立D、③6．有下面四个命题：（1）如果函数f(x)在点x0处极限存在，那么f(x)在点x0处连续；（2）如果函数f(x)在点x0处左连续又有右极限，那么f(x)在点x0处连续；（3）如果函数f(x)在点x0处不连续，g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x)在点x0处不连续；（4）函数在[-1，1]上存在最大值和最小值。其中错误的命题有（）。A、1个B、2个C、3个D、4个7．“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的（）。A、充分不必要条件B必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件38．已知函数则下列结论正确的是（）。A、f(x)在点x=1处不连续，在点x=2处连续B、f(x)在点x=1处连续，在点x=2处不连续C、f(x)在点x=1和x=2处都不连续D、f(x)在点x=1和x=2处都连续9．设函数在区间[0，+∞]上连续，则实数a的值是（）。A、1B、2C、3D、010．对函数，下列说法正确的是（）。A、f(x)在x=1处连续，在开区间(0，1)内不连续B、f(x)在x=1处不连续，在开区间(0，1)内连续C、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内均连续D、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内都不连续答案与解析答案：2.B3.C4.B5.A6.D7.B8.D9.B10.B解析：2.若≠，则函数不存在。3根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义：，所以A、B正确；，需看函数在点x=x0处是否有定义，因此选C。4.提示：若存在，则，，，所以b=1。5.提示：容易求得①②正确，也可知≠，所以不存在，③④不成立。7.提示：f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：（1）函数f(x)在点x0处有定义；（2）存在；4（3），即函数在点x0处的极限值等于这一点的函数值。因此“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的必要不充分条件。8.提示：首先，函数在点x=1和点x=2处有定义，而且，。所以f(x)在点x=1和x=2处都连续。9.提示：因为函数在区间[0，+∞]上连续，所以。10.提示：函数，其中x≠1，所以f(x)在x=1处不连续；当x≠1时，在开区间(0,1)内连续。567
