多元函数微分法及其应用习题及答案

1 第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若yxfz,在区域D 上的两个混合偏导数yxz 2，xyz 2 ，则在D 上， xyzyxz22。 (2)函数yxfz,在点00, yx处可微的 条件是yxfz,在点00, yx处的偏导数存在。 (3)函数yxfz,在点00, yx可微是yxfz,在点00, yx处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)yxz；(2)22arccosyxzu 3．求下列各极限 (1)xxyyxsinlim00； (2)11lim00xyxyyx； (3)22222200)()cos(1limyxyxyxyx 4．设 xyxzln，求yxz23及23yxz。 5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz ；(2) xyzln；(3)32zxyeu 。 6．设utuvzcos2 ，teu ，tvln，求全导数dtdz 。 7．设zyeux，tx  ，tysin， tzcos，求 dtdu 。 8．曲线4422yyxz，在点(2,4,5)处的切线对于 x 轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222czbyax所确定的函数z 的偏导数。 10．设yxyezx2sin2 ，求所有二阶偏导数。 2 11．设yxfz,是由方程 yzzxln确定的隐函数，求xz ，yz 。 12．设xyeexy，求dxdy 。 13．设yxfz,是由方程03 xyze z确定的隐函数，求xz ，yz ，yxz 2。 14．设yyezxcos2 ，求全微分dz。 15．求函数222lnyxz在点 2,1的全微分。 16．利用全微分求2201.498.2的近似值。 17．求抛物面22yxz与抛物柱面2xy 的交线上的点 2,1,1P处的切线方程和平面方程。 18．求曲面3914222zyx上点 3,1,2 P处的切平面方程和法线方程。 19．求曲线tx34，2ty ，3tz 上点0000,,zyxM，使在该点处曲线的切线平行于平面62zyx。 20．求函数224,yxyxyxf的极值。 21．求函数yyxeyxfx2,22的极值。 22．要建造一个容积为 10 立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米 20元，侧面材料单价每平方米 8 元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？ (B) 1．求下列函数的定义域 (1)222410lnlnarcsinyxyxz；(2)222241yxyxu 2．(1)设22,yxxyyxf，求yxf,，xyyxf,。 (2)设yxyxf2,，求 yxfxyf,, 3．求下列函数...