多元统计分析第八章典型相关分析

1 第8章 典型相关分析 典型相关分析是用来描述两组随机变量（两个随机向量）间关系的统计分析方法。两组随机向量，各含有许多随机变量，能否用少量随机变量来描述其相关性？例如为了研究饲料与荤菜价格的关系，统计若干年玉米、大豆、稻子、麦子、鱼粉以及猪肉、牛肉、羊肉、鸡肉、鸡蛋、鸭肉、鸭蛋的价格，分析饲料与荤菜价格的关系时，发现单独一种饲料和单独一种肉蛋禽价格关系并不密切(由显著性检验可见)，但饲料的某种综合价格则与肉蛋禽综合价格的关系很密切。把饲料价格看成一组随机变量，肉蛋禽价格看成另一组随机变量，找这两组随机变量的线性组合，使之相关系数平方最大，从而分析两组随机变量间的关系，判定这两组随机变量是否有关联，这就是典型相关分析。 8.1 典型相关分析数学模型 设随机向量)',...(1pxxX 与)',...(1pyyY 的方差yyxx  ,存在，协方差为xyYX),cov(。ba,为常数向量。则 1/ 2( ', ' )'/( '')xyxxyycorr a X b Yab aabb， 为了计算确定性，限制,1')'(aaXaDxx1')'(bbYbDyy。 定义8 .1 设11,bbaa在条件： ,1')'(aaXaDxx1')'(bbYbDyy 下使 co v (',')a X b Y 大 ， 则 称YbwXav','1111为 第一 对典 型 相 关 变 量 ，co v (',')a X b Y 称为第一典型相关系数。 由定义可见，11, wv尽可能多地反映原来 p 对随机变量相关的信息。第一对典型相关变量往往不能完全反映随机向量间的关系，必须建立其它典型相关变量,它应当最能反映随机向量间的关系，但是它应当与第一对典型相关变量不相关（不包含第一对典型相关变量的信息）。 定义8 .1′ 若常数向量 a =2a ，b =2b 在条件： ( ')'1xxD a Xaa ，1')'(bbYbDyy； 0)',cov(1Xav，0)',cov(1Ybw 下使cov( ', ' )a X b Y 最大，则称YbwXav','2222为第二对典型相关变量， 2 22cov(',' )aX b Y 称为第二典型相关系数。若常数向量a =3a ，b =3b 在条件：( ')1D a X  ，1)'(YbD； 0)',cov (1Xav，0)',cov (1Ybw； 0)',cov (2Xav，0)',cov (2Ybw， 下使22cov(',' )aX b Y 最大，则称YbwXav','3333为第三对典型相关变量，33cov(',' )aX b Y 称为第三典型相关系数。…… 求第一对典型相关变量是在条件： ,1')'(aaXaDxx1')'(bbYbDyy 下使cov( ', ' )'xya X b Yab...