高等数学学习指导书第四章不定积分63第四章不定积分17世纪最伟大的成就之一就是微积分的创立。数学和科学中的巨大发展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一两个人来走那最高和最后的一步。这一两个人要能够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划。就微积分的创立而言，这一两个人就 是Newton(牛顿1642-1727)和Leibniz（莱布尼兹1646-1716）Newton和 Leibniz平分的对微积分的极端重要的贡献之一是把面积、体积与其他以前作为和来处理的问题归并到反微分，即我们现在所说的积分。因此，在17世纪促使微积分产生的四个主要科学问题—速率、切线、最值、求值—全部归结为微分和反微分（积分）。Newton利用导数与它的逆解决了微积分的诸多问题。Leibniz第一次表达出求和与微分之间的关系：作为求和的过程的积分是微分的逆。在他的手稿中第一次采用了积分号“∫”。记号“ ∫”是“ sum”（和）的第一个字母s的拉长。不定积分是求导的逆，是讨论给定一个函数，如何寻求一些可导函数，使它们的导数等于所给定函数。这是积分学的基本问题之一。一、内容提要1、 原函数如果在某区间 I上可导函数()Fx的导函数为()fx，即对每一个x I∈ ，都有()()F xfx′ =或()()dFxfxdx=，则称函数()Fx为函数()fx在该区间 I上的一个原函数。2、 原函数存在的条件（1）连续函数一定有原函数。（2）初等函数在其定义区间内都有原函数。（3）若()fx在I上有原函数，则必有无数个原函数。（4）任意两个原函数间只相差一个常数。高等数学学习指导书第四章不定积分64（5）若()Fx是()fx在区间I上的一个原函数，则()fx在区间I上的全体原函数记为()Fx C+（C为任意常数）3、 不定积分：在区间I上，()fx的所有原函数称为函数()fx在区间I上的不定积分，记为()()fxdxFx C=+∫，其中 C为任意常数。4、 不定积分与微分的关系：先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数。即（1）[ () ]()fxdx fx′=∫或()()dfxfxdx′=；（2）()()F xdxFx C′=+∫或()()dFxdxFx C=+∫5、 不定积分的性质（1）两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差），即[()()]()()fx gxdx fxdx gxdx±=±∫∫∫（2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面，即()()kfxdxk fxdx=∫∫（k为常数，0k≠ ）6、 基本积分...
