1 第四章 经典质点动力学 4-1．已知质量为2kg 的质点的运动学方程为 22(61)(341)rtittj（国际制单位），求证质点所受合力为恒力． 证 对运动学方程求时间导数 d1264drvt itjt 22dd126ddvraijtt 2 (126 )=2412(N)Fmaijij 可见质点所受合力为恒力． 4-2．已知质量为1kg 的质点，在合力128 (N)Ft ij作用下运动．已知1t s时，质点位于2x m、0y 处，并以速率3m s沿 y 轴正向运动．求质点运动学方程． 解 由mrF，知12xt，8y ．可得 d12 dxt t ，d8dyt 积分 01d12 dxtxt t ，31d8dytyt 求出 266xt ，85yt 再根据 2d(66)dxtt ，d(85)dytt 再积分 221d(66)dxtxtt ，01d(85)dytytt 质点运动学方程为 3266xtt ，2451ytt 4-3．跳水运动员沿竖直方向入水，刚入水时速率为0v ，以入水点为O 点，y 轴竖直向下，运动员入水后浮力与重力抵消，受水的阻力与速度平方成正比，比例系数为k ，求入水后运动员速度随时间的变化规律． 解 以运动员为质点，根据牛顿第二定律有 2ddyyvmkvt ，即 2ddyyvk vtm 分离变量并积分 020ddyvtyvyvktvm 即可求出 011yk tvvm 也可以表示为 00ymvvmkv t 4-4．跳水运动员由高处下落，设运动员入水后重力与浮力抵消，受水的阻力与速度平方成正比，比例系数0.4km（m 为运动员质量）．求运动员速率减为入水速率的1 10 时，其入水深度（均为国际制单位）． 解 以入水点为O 点，y 轴竖直向下，以运动员为质点，根据牛顿第二定律有 2d0.4dyyvmmvt 2 做变量变换，得 2ddd0.4dddyyyyvvyvvyty 即 d0.4dyyvvy 分离变量并积分 00100d0.4dvyyvyvyv 0010ln|0.4vyvvy 可知运动员速率减为入水速率的1 10 时，其入水深度ln10 0 45 76(m)y..． 4-5．质量为m 的小球系在一不可伸长的轻绳之一端，可在水平光滑桌面上滑动．绳的另一端穿过桌面上一小孔，握在一人手中使它以匀速率a 向下运动．设初始时绳是拉直的，小球与小孔的距离为R ，初速度在垂直于绳的方向上的分量为0v ．试求小球运动和绳子的张力． 解 小球m 视为质点，作为研究对象，受力分析如图． 以桌面小孔为坐标原点O ，建立极坐标系如图，根据牛顿第二定律，有 TNTmaFFmgF...
