初中数学模型--阿基米德折弦定理的四种常规证法

阿基米德折弦定理的四种常见证法 Justin ● 深圳平面几何内容在整个初中数学知识中占有很重要第位，无论是中考还是平时阶段检测，往往会在几何题目的设置上体现选拔性。更有人说：“初中数学学得好不好，关键看几何好不好”。这些虽然仅仅是一些说法而已，但也不无它的道理。平面几何的确是考察学生的一个很重要的方面，几何学习的关键主要是掌握作辅助线的技巧。而这些技巧也并非一朝一夕就能掌握的，需要长时间的积累，总结，并应用才能较好掌握。在整个初中范围内，圆作为一个独立的章节更显现它的重要，并以综合难度大，辅助线的作法较多著称。下面就以“阿基米德折弦定理”的证明为例来浅谈本人对圆的学习心得。问题：已知 M 为弧 AC 的中点，B 为弧 AM 上任意一点，且 MD⊥BC 于 D.求证：AB+BD=DC证法一：(补短法)如图：延长 DB 至 F，使 BF=BA M 为 的中点 ∴AM=MC, ∴∠MAC=∠MCA---① 又 , ∴MC=MA ∴∠MBC=∠MAC---②又 ∠MBC+∠MBF=180---③ 由 M,B,A,C 四点共圆 ∴∠MCA+∠MBA=180---④ 由①②③④可得：∠MBA=∠MBF在△MBF 与△MBA 中： ∴△MBF △MBA(SAS) ∴MF=MA, 又 MC=MA ∴MF=MC又 MD⊥CF ∴DF=DC ∴FB+BD=DC 又 BF=BA ∴AB+BD=DC（证毕）证法二：（截长法）如图：在 CD 上截取 DB=DG MD⊥BG ∴MB=MG ∴∠MBG=∠MGB---①又 ，∴∠MBG=∠MAC 又 ∠MAC=∠MCA (已证)，∴∠MBG=∠MCA---② 由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG而∠MGB=∠GMC+∠MCG ∴∠GMC=∠BCA 又 ,∴∠BMA=∠BCA ∴∠BMA=∠GMC, 在△MBA 与△MGC 中 ∴△BMA△GMC (SAS)∴AB=GC, ∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)证法三：（翻折）如图：连接 MB,MC,MA,AC, 将△BAM 沿 BM 翻折，使点 A 落至点 E，连接 ME,BE △MBA 与△MBE 关于 BM 对称，所以△MBE≌MBA ∴MA=ME, ∠MBA=∠MBE-①又 MA=MC, ∴ME=MC , 又 M, B, A, C 四点共圆，∴∠MBA+∠MCA=180---② 又 MA=MC(已证) ∴∠MAC=∠MCA 又 ，∴∠MBC=∠MAC ∴∠MBC=∠MCA- --③由①②③得:∠MBC+∠MBE=180 ∴E,B,C 三点共线。 又 ME=MC,MD⊥CE∴DE=DC ,∴EB+BD=DC ,又 △MBE≌MBA ∴AB=EB∴ AB+BD=DC(证毕)证法四：如图，连接 MB,MA,MC,AC, 延长 AB,过点 M 作 MH⊥AB 于点 H, M 为的中点 ∴AM=MC, 又 ,∴∠HAM=∠DCM又 ∠MHA=∠MDC=90 ∴在△MHA与△MDC中 ∴△MHA≌△MDC (AAS) ...