用不动点法求数列通项公式

1 用不动点法求递推数列dtcbtatnnn 1(a2+c2≠0) 的通项储炳南（安徽省岳西中学246600）1．通项的求法为了求出递推数列dtcbtatnnn 1的通项，我们先给出如下两个定义：定义 1：若数列 {nt } 满足)(1nntft，则称)(xf为数列 {nt } 的特征函数 . 定义 2: 方程)(xf=x 称为函数)( xf的不动点方程，其根称为函数)( xf的不动点. 下面分两种情况给出递推数列dtcbtatnnn 1通项的求解通法 . (1) 当 c=0, 时, 由dtcbtatnnn 1dbtdatnn 1, 记kda,cdb，则有ctktnn 1（k≠0）, ∴数列 {nt } 的特征函数为)( xf=kx+c, 由 kx+c=xx=kc1, 则ctktnn1)1(11kctkkctnn∴数列}1{kct n是公比为 k 的等比数列 , ∴11)1(1nnkkctkct11)1(1nnkkctkct. (2) 当 c≠0 时, 数列{nt } 的特征函数为：)( xf=dxcbxa2 由xdxcbxa0)(2bxadcx设方程0)(2bxadcx的两根为 x1,x 2, 则有 : 0)(121bxadcx,0)(222bxadcx∴12)(1xadcxb⋯⋯ (1) 222)(xadcxb⋯⋯ (2) 又设212111xtxtkxtxtnnnn( 其中 ,n ∈N*,k 为待定常数 ). 由212111xtxtkxtxtnnnn2121xtxtkxdtcbtaxdtcbtannnnnn212211xtxtkdxtcxbatdxtcxbatnnnnnn⋯⋯ (3) 将(1) 、（2）式代入 (3) 式得: 2122221121xtxtkaxtcxcxataxtcxcxatnnnnnn212211))(())((xtxtkxtcxaxtcxannnn21cxacxak∴数列 {21xtxtnn} 是公比为21cxacxa( 易证021cxacxa) 的等比数列 . ∴21xtxtnn=1212111ncxacxaxtxt3 12121111212111211nnncxacxaxtxtcxacxaxtxtxxt. 2．应用举例例 1：已知数列 {a n} 中，a1=2，3121nnaa，求{a n} 的通项。解：因为 {a n} 的特征函数为：312)(xxf, 由1312)(xxxxf, ∴3121nnaa)1(3211nnaa∴数列 {a n-1} 是公比为32 的等比数列 , ∴an-1=11)32)(1(naan=1+1)32(n . 例 2 已知数列 {a n} 中，a1=3，1241nnnaaa，求 {a n} 的通项。解：因为 {a n} 的特征函数为：124)(xxxf, 由2,1023124)(212xxxxxxxxf设212111nnnnaakaa2121241124nnnnnnaakaaaa214233nnnnaakaa21)2()1(23nnnnaakaa23k即21232111nnnnaaaa, 4 ∴数列21nnaa是公比为23 的等比数列 . ∴111232121nnnaaaa∵a1=3, ∴123221nnnaa121232322nnnnna. 例 3 已知数列 {a n} 中，a1=2，nnnaaa111，求 {a n} 的通项。解：因为 {a n} 的特征函数为：xxxf11)(, 由xxxxf11)(ixixx212,01设iaiakiaiannnn11iaiakiaaiaannnnnn1111iaiakiaiaiaiannnnnn11iaiakiaiaiinnnn)()(11iik11即iaiaiiiaiannnn1111, ∴数列iaiann是公比为ii11的等比数列 . ∴11111nnniiiaiaiaia∵a1=2, ∴11122nnniiiiiaia122nnniiiiaia1)2(221)2(nnniiiiiia. 5 例 4 已知数列 {a n} 的前 n 项和为nS ，211a，)1(2nnanSnn，求{a n} 的通项。解：∵)1(2nnanSnn⋯⋯①∴nnanSnn)1()1(121⋯⋯②②- ①得：)1()1()1(2121nnnnananannn2)2(1nnnaan2221nannann⋯⋯③因为{a n} 的特征函数为：222)(nxnnxf, 由xnxnnxf222)(x=1. 设nnba11nnba，111nnba⋯⋯④将④代入③得：22)1(211nbnnbnnnnbnnb2121nnbbnn∴13423121nnnbbbbbbbbbb，∵21111ab∴)1(11153423121nnnnbn∴)1(111nnbann。