留数及其应用

第五章 留数及其应用 (Residue and application) 第一讲授课题目： §5.1 孤立奇点教学内容： 孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、 函数的零点与极点的关系. 函数在无穷远点的性态学时安排： 2 学时教学目标： 1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点： 孤立奇点的分类教学难点： 各类奇点的特征教学方式： 多媒体与板书相结合作业布置：133132P习题五： 1-5 板书设计： 一、孤立奇点的分类二、各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系参考资料： 1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社 . 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版 . 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版） 2005 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社， 2008 年 4 月.课后记事： 1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：§5.1 孤立奇点(Isolated singular point)一、孤立奇点的分类（ Isolated singular points of）设函数)( zf在去掉圆心的圆盘)0(||0:0RRzzD内解析，那么我们称0z 为)(zf的孤立奇点 . 在 D 内，)(zf有洛朗展式,)()(0nnnzzzf其中,...)2,1,0(,)()(2110CnnndzfiC 是圆)0(||0Rzz.,)(00nnnzz为)(zf的解析部分，,)(10nnnzz为)(zf的主要部分 . 例10 是zezz1,sin，z1 的孤立奇点 . 例2zzf1sin1，,2,110nnz是它的孤立奇点 . 一般地，对于上述函数)( zf，按照它的洛朗展式含负幂的情况（主要部分的情况） ，可以把孤立奇点分类如下：定义（Definition）5.1 (1) 若)(zf在0z 的主要部分为零，则称0z为)(zf的可去奇点 . (2) 若)( zf在0z点的主要部分为有限多项 . 即0110)1(0)()(zzzzzzmmmm (0m) 则称0z为)(zf的 m 阶极点 . (3) 若)(zf在0z点的主要部分有无限多项, 则称0z为)( zf的本性奇点 . 二、各类奇点的特征(The characteristics of various types of singularities) 1、可去奇点 (Removable singularity) 我们说0z 是)(zf的 可 去 奇 点 ， 或 者 说)(zf在0z 有 可 去 奇 点 . 这 是 因 为 令00 )(zf，就得到在整个圆盘Rzz||0内的解析函数)( zf. 定理 (Theorem)5.1函数)( zf在)0(||0:0RRzzD内解析，那么0z是)...