相似三角形中分类讨论的数学思想（汤杰）讨论标志一：当两个三角形不用相似符号对应联立的问题1.在直角三角形ABC 中，∠ B=90 ° ，点 D 在边 BC 上，过点 D 的直线将直角三角形ABC 分成一个三角形和一个四边形，得到的小三角形与原三角形相似，这样的直线可以画几条并画出示意图。2.（2013，永州）如图，已知ABBD ，CDBD （1）若 AB=9 ，CD=4 ，BD=10 ，请问在 BD 上是否存在P 点，使以 P、A、B 三 点 为 顶 点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若 AB=9 ，CD=4 ，BD=12 ，请问在 BD 上存在多少个P 点，使以 P、A、 B 三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似并求BP 的长；（3）若 AB=9 ，CD=4 ，BD=15 ，请问在 BD 上存在多少个P 点，使以 P、A、 B 三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似并求BP 的长；（4）若 AB= m ，CD= n ，BD= l ，请 问, ,m n l 满足什么关系时，存在以P、A 、B 三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点两个 P 点三个 P 点3（2014?武汉）如图， Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（ 0＜ t＜2），连接 PQ．（ 1）若△ BPQ 与△ ABC 相似，求 t 的值；（2）连接 AQ，CP，若 AQ⊥CP 求 t 的值；4.（2014?益阳）如图，在四边形ABCD 中， AB∥CD，AD⊥AB，∠ B=60°，AB=10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x．（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B 为顶点的三角形相似若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；(2013 徐州中考）讨论标志二：利用相似三角形解决等腰三角形的讨论问题。1.(2014?黑龙江牡丹江 )如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90 °，AC=8 ，BC=6 ，CD ⊥AB 于点 D．点 P 从点 D 出发，沿线段DC向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点P 运动到 C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段 CD 的长；（2）当 t 为何值时，...
