矩阵n次方的几种求法的归纳

矩阵 n次方的几种求法1. 利用定义法,,ijkjs nn mAaBb则,ijs mCc其1 122...ijijijinnjca ba ba b1nikkjka b 称为 A 与 B 的乘积，记为 C=AB，则由定义可以看出矩阵A 与B的乘积 C的第 i 行第 j 列的元素等于第一个矩阵A的第 i 行与第二个矩阵 B的第 j 列的对应元素乘积之和， 且由定义知： 第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相1同。例 1: 已知矩阵3 4125310210134A，4 45130621034510200B，求 AB解：设 CAB =3 4ijc，其中1,2,3i；1,2,3,4j由矩阵乘积的定义知：111 5265 33 032c121 122543231c131 32 1553 030c141 0205 1305c211 506231 01c221 102241 29c231 30 1251 07c241 0002 11 02c3105163 34015c320 1 12344222c33031 1354016c340 0103 1403c将这些值代入矩阵 C 中得：CAB =3 4323130519721522163则矩阵 A的 n 次方也可利用定义的方法来求解。2. 利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘 法 的 定 义 来 求 解 这 些 小 矩 阵 的 乘 积 所 构 成 的 矩 阵 。 即 设,,ijkjs nn mAaBb把 A ， B 分解成一些小矩阵：1111lttlAAAAAKMOML，1111rllrBBBBBKMOML，其中ijA 是ijsn 小矩阵且1,2...it ，1,2...jl ，且12...tssss ，12...lnnnn ；ijB 是jknm 小矩阵且1,2...jl ，1,2...kr ；且12...lnnnn ，12...rmmmm ；令 CAB =1111rttrCCCCKMOML，其中ijC 是ijsm 小矩阵且1,2...it ，1,2,...,jr ，且12...tssss，12...rmmmm ；其中1122...ijijijilljCA BA BA B 。这里我们应注意：矩阵A 列的分法必须与矩阵 B 行的分法一1致。例2：已知矩阵4 510025010130012800006A，5 21245104206B，求 AB解：将4 54 51002510025010130101300128001280000600006A11122122EAAA写成12124545101042420606B1121BB写成，其中11100010001E12251328A，2206A，11124510B，214206B由矩阵乘积法则知：AB=111221211122214 2BA BA BA B由矩阵加法和乘积法则1知：4 2936825AB952036则矩阵 A的 n次方的求解也可利用以上方法来求解。3．利用数学归纳法求解这种方法与矩阵定1义和数学归纳3法相结合，从而找出规律再求解，但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运2算。例 3：已知 A= cossinsincos，求nA解：当2...