矩阵合同变换

1 / 9 矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义 1：如果矩阵 A 可以经过一系列初等变换变成B，则积 A 与 B 等价，记为 AB定义 2：设 A，B 都是数域 F 上的 n 阶方阵，如果存在数域F 上的 n 阶段可逆矩阵 P 使得1BPAp ，则称 A 和 B 相似 AB定义 3：设 A ，B 都是数域 F 上的 n 阶矩阵， 如果存在数域F 上的一个 n 阶可逆矩阵P，使得TP APB那么就说，在数域F 上 B 与 A 合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理 1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为 P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12mPQ QQ 。此时711TTTmnPQQQ 边为一系列初等矩阵的乘积若111TTTTmnmBP APQ QQ AQQ则 B 由 A 经过一系列初等变换得到。所以AB ，从而知合同变换是等价变换。定理 2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理 3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共1ABBPAP1||det||delIBIPAP又因为I 为对称矩阵所以11det || ||||IPAPPIA P1|| || ||PIAP||IA注①合同不一定有相同特征多项式定理 4：如果 A 与 B 都是 n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与 B 相似且合同论：设 A ，B 为特征根均为12,n ，因为 A 与 B 实对称矩阵，所以则在n 阶正矩阵，,Q P 使得112[]Q AQ11[]nP BP从而有11QAQP BP2 / 9 11PQ AQPB由11Q QE PPE从而有1111PQ QPPEPPPE从而111()PQQP又由于1111()()()QPQPTQPPTQT1()TTQPPTQTQQ1QQE1QP为正交矩阵所以 AB 且 AB定时 5：两合同矩阵，若即PTAPB ，若 A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明： AB 即TP APB ，若对称阵，则TAA()TTTBP APTTP A PTPA PB所以 B 边为对称阵[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理 6：对称矩阵相似于对角阵A 的每一个特征根有秩 ||IAns，S 为的重数 . 证明：任给对称的n 阶矩阵 A 一个特征根，以其重数以秩||IAr ，则||rnsnrsIA12000nxxx，线性无关的解向量个数为nr 个，即 5 个又因属不同特征根的特征向量线性无关n 阶对称阵...