平方根算术平方根 立方根三说 王峰 一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要 1. 平方根、算术平方根的概念与性质 如果一个数x 的平方等于a（即），那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根），记作： ，这里a 是x 的平方数，故a 必是一个非负数即；例如16 的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根只有一个0，即为它本身。 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，表示为，例如16 的算术平方根是 ，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。 2. 平方根、算术平方根的区别与联系 区别：①定义不同； ②个数不同； ③表示方法不同； ④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。 联系：①它们之间具有包含关系； ②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数； ③0 的平方根以及算术平方根均为0。 3. 立方根的定义与性质 如果一个数x 的立方等于a（即），那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根），记作： 。 立方根的性质：正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 二、解题中常见的错误剖析 例1. 求的平方根。 错解： 的平方根是 剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即± 3。 例 2. 求的算术平方根。 错解： 的算术平方根是3 剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求 9 的算术平方根，因而导致误解，事实上本题就是表示的9 的算术平方根，而整个题目的意义是让求 9 的算术平方根的算术平方根。 ，而3 的算术平方根为，故的算术平方根应为。仿此你能给出的平方根的结果吗？ 三、典型例题的探索与解析 例 3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。 分析：由算术平方根及立方根的意义可知 联立<1><2>解方程组，得： 代入已知条件得： 所以 故M＋N 的平方根是±。 例 4. 已知，求的算术平方根与立方根。 分析：由已知得 联立<1><2>解方程组，得： 所以 因而的算术平方根与立方根分别为 。 例5. 若一个正数a 的两个平方根分别为和，求的值。 分析：由平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，因而可构造方程 ，解得 从而 评注：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a，解法可谓简捷明了，令人耳目一新。事实...
