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平方根算术平方根立方根

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平方根算术平方根 立方根三说 王峰 一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要 1. 平方根、算术平方根的概念与性质 如果一个数x 的平方等于a(即),那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根),记作: ,这里a 是x 的平方数,故a 必是一个非负数即;例如16 的平方根是±4,从定义还可得出:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0 的平方根只有一个0,即为它本身。 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,表示为,例如16 的算术平方根是 ,从定义中容易发现:算术平方根具有双重非负性:①;②。 2. 平方根、算术平方根的区别与联系 区别:①定义不同; ②个数不同; ③表示方法不同; ④取值范围不同:平方根可以是正数、负数、零,而算术平方根只能取零及正数,即非负数。 联系:①它们之间具有包含关系; ②它们赖以生存的条件相同,即均为非负数; ③0 的平方根以及算术平方根均为0。 3. 立方根的定义与性质 如果一个数x 的立方等于a(即),那么这个数x 就叫做a 的立方根(或三次方根),记作: 。 立方根的性质:正数的立方根是正数,0 的立方根是0,负数的立方根是负数。 二、解题中常见的错误剖析 例1. 求的平方根。 错解: 的平方根是 剖析:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而是一个正数,故它的平方根应有两个即± 3。 例 2. 求的算术平方根。 错解: 的算术平方根是3 剖析:本题是没有搞清题目表达的意义,错误的认为是求 9 的算术平方根,因而导致误解,事实上本题就是表示的9 的算术平方根,而整个题目的意义是让求 9 的算术平方根的算术平方根。 ,而3 的算术平方根为,故的算术平方根应为。仿此你能给出的平方根的结果吗? 三、典型例题的探索与解析 例 3. 已知:是算数平方根,是立方根,求的平方根。 分析:由算术平方根及立方根的意义可知 联立<1><2>解方程组,得: 代入已知条件得: 所以 故M+N 的平方根是±。 例 4. 已知,求的算术平方根与立方根。 分析:由已知得 联立<1><2>解方程组,得: 所以 因而的算术平方根与立方根分别为 。 例5. 若一个正数a 的两个平方根分别为和,求的值。 分析:由平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,因而可构造方程 ,解得 从而 评注:本题利用平方根的性质,构造一元一次方程,先求出其平方根,再进一步求出a,解法可谓简捷明了,令人耳目一新。事实...

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