平面向量中“三点共线定理”妙用

实用标准文案 精彩文档 平面向量中“三点共线定理”妙用 对平面内任意的两个向量babba//),0(,的充要条件是：存在唯一的实数 ，使ba  由该定理可以得到平面内三点共线定理： 三点共线定理：在平面中A、B、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的 O，存在唯一的一对实数 x,y 使得：OPxOAyOB且1xy 。 特别地有：当点 P 在线段 AB 上时，0 ,0xy 当点 P 在线段 AB 之外时，0xy  笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。 例 1（06 年江西高考题理科第 7 题）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若12 0 0OBa OAaOC，且 A、B、C 三点共线，（设直线不过点 O），则 S200=（ ） A．100 B．101 C．200 D．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴12 0 02 0 02 0 0 ()1 0 02aaS,故选 A。 点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。 例 2 已知 P 是 ABC的边 BC 上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则yx41  的最小值是 解：点 P 落在 ABC 的边 BC 上 B，P,C 三点共线 APxAByAC 1xy  且x>0,y>0 14141444() 1() ()145yxyxxyxyxyxyxyxy   x>0,y>0 40 ,0yxxy 由基本不等式可知：4424yxyxxyxy，取等号时实用标准文案 精彩文档 4yxxy224yx2yx 0,0xy2yx1xy12,33xy，符合 所以yx41 的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功. 例3（湖北省2011 届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13ANNC，点P 是 BC 上的一点，若211APmABAC，则实数m 的值为（ ） A． 911 B. 511 C. 311 D. 211 解：, ,B P N 三点共线，又2284111111APmABACmABANmABAN 8111m 311m，故选 C 例4（07 年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M...