平面法向量的求法及其应用

(4 3 ) 平面法向量的求法及其应用 嵩明县一中 吴学伟 引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道 12 分的立体几何题将会变得更加轻松。 一、 平面的法向量 1、定义：如果a，那么向量a 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面  的法向量( , ,1)nx y[或( ,1, )nxz，或(1, , )ny z]，在平面 内任找两个不共线的向量,a b 。由 n，得0n a 且0n b ，由此得到关于 ,x y 的方程组，解此方程组即可得到n。 方法二：任何一个zyx,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是zyx,,的一次方程。0DCzByAx )0,,(不同时为CBA，称为平面的一般方程。其法向量),,(CBAn ;若平面与 3 个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321cPbPaP,如图所示,则平面方程为:1czbyax,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积 ba为一长度等于sin||||ba，（θ为, 两者交角，且 0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时 ，大 拇 指 所 指 的方向规 定 为 ba的方向,abba。:),,,(),,,(222111则设zyxbzyxa21yyba ,21zz21xx ,21zz21xx 21yy （注：1、二阶行列式:caM  cbaddb；2、适合右手定则。） 例1 、 已知，)1,2,1(),0,1,2(ba， 图 1-1 C1 C B y F A D x A1 D1 z B1 E 试求（1）：; ba（2）：. ab Key: (1) )5,2,1(  ba;)5,2,1()2( ab 例2 、如图1-1,在棱长为2 的正方体1111ABCDA BC D中， 求平面 AEF 的一个法向量n。 二、 平面法向量的应用 1 、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设n 是平面 的法向量，...