积分对称性定理

1 / 6 关于积分对称性定理1、定积分：设)( xf在,a a 上连续，则-00,d2d ,aaafxxfxxfxxfxx为 的奇函数 ,为 的偶函数 .2、二重积分：若函数),(yxf在平面闭区域 D 上连续，则（1）如果积分区域 D 关于 x 轴对称，),(yxf为 y 的奇（或偶）函数，即),(),(yxfyxf（或),(),(yxfyxf），则二重积分10,,,d d2,d d ,,DDf x yyf x y x yf x y x yf x yy为 的奇函数,为 的偶函数.其中：1D 为 D 满足0y上半平面区域。（2） 如果积分区域 D 关于 y 轴对称，),(yxf为 x的奇（或偶）函数，即,,fx yfx y （或,,fx yfx y ），则二重积分2 / 6 20,,,d d2,d d ,,DDfx yxfx y x yfx yx yf x yx为 的奇函数,为 的偶函数.其中：2D 为 D 满足0x的右半平面区域。（3）如果积分区域 D 关于原点对称，),(yxf为yx, 的奇（或偶）函数，即),(),(yxfyxf（或),(),(yxfyxf）则二重积分20,,,, d d2, d d ,,,DDf x yx yf x y x yf x y x yf x yx y为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为 D 在0y上半平面的部分区域。（4）如果积分区域 D 关于直线xy对称, 则二重积分yxxyfyxyxfDDdd,dd,. （二重积分的轮换对称性）(5) 如果积分区域 D 关于直线 yx 对称, 则有10,(,)( , )( , )2( , ),(,)( , )DDfyxf x yf x y dxdyf x y dxdyfyxf x y当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时, 应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数yxf,具有奇偶性两个特性。3 / 6 3、三重积分： (1)若zyxf,,为闭区域上的连续函数， 空间有界闭区域关于 xoy 坐标面对称，1为位于 xoy 坐标面上侧0z的部分区域，则有10,, ,, , d d d2, , d d d ,, ,f x y zzf x y z x y zf x y z x y zf x y zz为 的奇函数,为 的偶函数.注：),,(zyxf是 z 的奇函数：),,(),(zyxfzyxf),,(zyxf是 z的偶函数：),,(),(zyxfzyxf同样，对于空间闭区域关于yozxoz,坐标面对称也有类似的性质。4、曲线积分（第一类）（1）若分段光滑平面曲线L 关于 y 轴对称，且yxf,在 L 上为连续函数，1L 为 L 位于 y 轴右侧的弧段，则10,,,d2,d ,,LLf x yxf x y sf x y sf x yx为 的奇函数,为 的偶函数.（2）若分段光滑平面曲线L 关于 x轴对称，且yxf,在 L 上为连续函数，1L 为 L 位于 x轴上侧的弧段，则4 / 6 10,,,d2,d ,,LLf...