空间向量共面充要条件应用

1 / 2 空间向量共面充要条件的应用共面向量定理涉及三个向量→p 、→a 、→b 共面问题，它们之间的充要条件关系为：如果两个向量 →a 、→b 不共线，那么向量→p 与向量 →a 、→b 共面的充要条件是：存在有序实数组(x,y)，使得 →p ＝x→a ＋y→b . 共面向量定理在立体几何中证明中有关有着广泛的运用，如在点线共面、 线面平行等问题中，都有很好的体现. 由于向量本身具有的位置不定性，使得共面向量可理解为能够平移到同一平面内的向量，或者理解为平行于同一平面的向量. 下面就空间向量共面充要条件的应用分类解析，体会应用的方法与技巧. 一、判断点与平面的关系例 1 已知 A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点 O，若 →OM＝2→OA－→OB－→OC，判断点M是否在平面ABC内. 分析 ：点 M与 A、B、C不共面，即点M不在平面ABC内，即不存在x，y 使→AM＝x→AB＋y→AC，可用反证法证明判断. 解：假设 M在平面 ABC内，则存在实数x,y ，使 →AM＝x→AB＋y→AC，于是对空间任意一点O，O在平面 ABC外， →OM＝(1 － x－y) →OA＋x→OB＋y→OC，比较原式可得1－x－y＝2x＝－ 1y＝－ 1，此方程组无解，与假设不成立，∴不存在实数x,y ，使 →AM＝x→AB＋y→AC，∴ M与 A、B、C不共面 . 点评 ：本题采用反证法来证明点M不在平面 ABC内，因为反证法就是从正面进行解答比较困难，从对立面进行证明的一种思想方法. 二、用于证明四点共面例 2 如图所示，长方体ABCD－ A1B1C1D1 中，M为 DD1 的中点， N在 AC上，且 AN﹕NC＝2﹕1，求证： A1、B、N、M四点共面 . 分析： 利用空间向量共面的充要条件，通过证明向量→A1N 、→A1B 、→A1M共面，即可证明存在唯一实数 λ 、 μ ，使 →A1N ＝λ →A1B ＋μ →A1M成立 . 证明： 如图， →AA1 ＝→a ，→AB＝ →b ，→AD＝→c ，则 →A1B＝→AB－→AA1 ＝→b －→a ， M为 DD1 的中点， →A1M＝→AD－12→AA1 ＝→c －12→a ， AN﹕NC＝2﹕1，∴ →AN ＝23→AC＝23( →AB＋→AD)＝23( →b ＋→c ) ，∴→A1N ＝→AN － →AA1 ＝23( →b ＋ →c )－→a ＝23( →b －→a ) ＋23(→c －12→a ) ＝23→A1B ＋23→A1M，∴A1、B、 N、M四点共面 . 点评： 本题根据空间向量基本定理，充分利用三角法则与平行四边形法则，通过不同的途径分别用向量→EF﹑ →EH表示 →MQ或用向量 →EG表示 →M...