1 / 2 空间向量共面充要条件的应用共面向量定理涉及三个向量→p 、→a 、→b 共面问题,它们之间的充要条件关系为:如果两个向量 →a 、→b 不共线,那么向量→p 与向量 →a 、→b 共面的充要条件是:存在有序实数组(x,y),使得 →p =x→a +y→b . 共面向量定理在立体几何中证明中有关有着广泛的运用,如在点线共面、 线面平行等问题中,都有很好的体现. 由于向量本身具有的位置不定性,使得共面向量可理解为能够平移到同一平面内的向量,或者理解为平行于同一平面的向量. 下面就空间向量共面充要条件的应用分类解析,体会应用的方法与技巧. 一、判断点与平面的关系例 1 已知 A、B、C三点不共线,对平面ABC外一点 O,若 →OM=2→OA-→OB-→OC,判断点M是否在平面ABC内. 分析 :点 M与 A、B、C不共面,即点M不在平面ABC内,即不存在x,y 使→AM=x→AB+y→AC,可用反证法证明判断. 解:假设 M在平面 ABC内,则存在实数x,y ,使 →AM=x→AB+y→AC,于是对空间任意一点O,O在平面 ABC外, →OM=(1 - x-y) →OA+x→OB+y→OC,比较原式可得1-x-y=2x=- 1y=- 1,此方程组无解,与假设不成立,∴不存在实数x,y ,使 →AM=x→AB+y→AC,∴ M与 A、B、C不共面 . 点评 :本题采用反证法来证明点M不在平面 ABC内,因为反证法就是从正面进行解答比较困难,从对立面进行证明的一种思想方法. 二、用于证明四点共面例 2 如图所示,长方体ABCD- A1B1C1D1 中,M为 DD1 的中点, N在 AC上,且 AN﹕NC=2﹕1,求证: A1、B、N、M四点共面 . 分析: 利用空间向量共面的充要条件,通过证明向量→A1N 、→A1B 、→A1M共面,即可证明存在唯一实数 λ 、 μ ,使 →A1N =λ →A1B +μ →A1M成立 . 证明: 如图, →AA1 =→a ,→AB= →b ,→AD=→c ,则 →A1B=→AB-→AA1 =→b -→a , M为 DD1 的中点, →A1M=→AD-12→AA1 =→c -12→a , AN﹕NC=2﹕1,∴ →AN =23→AC=23( →AB+→AD)=23( →b +→c ) ,∴→A1N =→AN - →AA1 =23( →b + →c )-→a =23( →b -→a ) +23(→c -12→a ) =23→A1B +23→A1M,∴A1、B、 N、M四点共面 . 点评: 本题根据空间向量基本定理,充分利用三角法则与平行四边形法则,通过不同的途径分别用向量→EF﹑ →EH表示 →MQ或用向量 →EG表示 →M...