1 / 2 立体几何中的向量方法------ 距离问题一、求点到平面的距离1．（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度；2．还可以用等积法求距离；3．向量法求点到平面的距离. 在 Rt PAO 中， sin||sin||uuuruuurddAPAP又||sincos||||uuuurruuurrAP nAPOAPn||||uuuurrrAP ndn（其中uuurAP为斜向量，rn 为法向量）二、直线到平面的距离转化为点到线的距离：||||uuuurrrAP ndn（其中uuurAP为斜向量，rn 为法向量）三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：||||uuuurrrAP ndn（其中uuurAP为斜向量，rn 为法向量）四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：||||uuuurrrAP ndn（其中uuurAP 为两条异面直线上各取一点组成的向量，rn 是与,r ra b 都垂直的向量）例 1．如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，棱长为1， E 为11C D 的中点，求下列问题：（1） 求1B 到面1A BE 的距离；解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，则111( 1,,0),(0,1, 1),2uuuuruuuurA EA B，面1A BE 的法向量为1111131001(,,)(, 1,)2201221101ruuuuruuuurnA EA B选点1B 到面1A BE 的斜向量为11(0,1,0)uuuurA B得点1B 到面1A BE 的距离为11||23||uuuuurrrA Bndn（2）求1D C 到面1A BE 的距离；1:(1)(1,2,2)r解 由知平面的法向量A BEn11(1,0,0)uuuuur斜向量 D A点11到面DA BE 的距离为11||13uuuuur rrD A ndn(3) 求面1A DB 与面11D CB 的距离；解：由图知平面1A BD 的法向量为1( 1,1,1)ruuuurnAC11(1,0,0)uuuuur又斜向量 D A点11到面DA BD 的距离为11||13uuuuurrrD Andn111即面与的距离A BDD CB为33(4) 求异面直线1D B 与1A E 的距离 . 解：如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2DBAE111(1,,0),(1,1,1)2uuuuruuuurA ED B设11( , , ),ruuuur uuuur是与nx y zA E D B 都垂直的向量，则110230r uuuurr uuuurn A Eyxzxn D B，取1x，得一个法向量为(1,2,3)rn选11与A EBD 的两点向量11(1,0,0)uuuuurD A得11与A EBD 的距离为11||1414||uuuuurrrD Andn练习 1：1． 如图在直三棱柱111ABCA B C 中，1ACBC, 90ACB，12AA，求点1B 到面1A BC 的距离 . 2．已知棱长为1 的正方体1111ABCDA B C D ，求平面11DAC 和平面1AB C 间的距离3．已知棱长为1 的正方体1111ABCDA B C D ，求直线1DA 和 AC 间的距离。?OP?OPnAd?OPnAdl?OPnAd?AaPbndABCD1A1B1C1DEyzxABCD1A1B1C1DEyzxABCD1A1B1C1DEyzxABCD1A1B1C1DEyzxxxBCB 1AA 1C1ADCB1A1C1B1DADCB1A1C1B1D2 / 2 4． 在四面体 P－ABC 中， PA，PB，PC 两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点 P 到平面 ABC 的距离为________．
