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算术平均数和几何平均数

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1 / 15 算术平均数与几何平均数典型例题一例 1已知Rcba,,,求证.222cabcabcba证明: abba222,bccb222,caac222,三式相加,得)(2)(2222cabcabcba,即.222cabcabcba说明: 这是一个重要的不等式,要熟练掌握.典型例题二例 2已知cba、、是互不相等的正数,求证:abcbaccabcba6)()()(222222证明: 0222abccb,,∴abccba2)(22同理可得:abcbacabccab2)(2)(2222,.三个同向不等式相加,得abcbaccabcba6)()()(222222①说明: 此题中cba、、互不相等, 故应用基本不等式时,等号不成立. 特别地,ba,cb时,所得不等式①仍不取等号.典型例题三例 3求证)(2222222cbaaccbba.分析:此问题的关键是 “灵活运用重要基本不等式abba222,并能由)(2cba这一特征,思索如何将abba222进行变形,进行创造” .证明: abba222,两边同加22ba得222)()(2baba.即2)(222baba.2 / 15 ∴)(222122bababa.同理可得:)(2222cbcb,)(2222acac.三式相加即得)(2222222cbaaccbba.典型例题四例 4 若正数 a 、 b 满足3baab,则 ab 的取值范围是.解: Rba,,∴323abbaab,令aby,得0322yy,∴3y,或1y(舍去).∴92aby,∴ab 的取值范围是.,9说明:本题的常见错误有二. 一是没有舍去1y;二是忘了还原, 得出,3ab.前者和后者的问题根源都是对ab 的理解,前者忽视了.0ab后者错误地将2y 视为ab .因此,解题过程中若用换元法,一定要对所设“元”的取值范围有所了解,并注意还原之.典型例题五例 5 (1)求41622xxy的最大值.(2)求函数1422xxy的最小值,并求出取得最小值时的x 值.(3)若0,0 yx,且2yx,求22yx的最小值.解:(1)41622xxy13163)1(162222xxxx.3326即 y 的最大值为.33 / 15 当且仅当13122xx时,即22x2x时,取得此最大值.(2)1141142222xxxxy3142∴y 的最小值为3,当且仅当11422xx,即4)1(22x,212x,1x时取得此最小值.(3)∴xyyx222∴222)()(2yxyx即2)(222yxyx 2yx∴222yx即22yx的最小值为2.当且仅当4yx时取得此最小值.说明: 解这类最值,要选好常用不等式,特别注意等号成立的条件.典型例题六例 6求函数xxy321的最值.分析: 本例的各小题都可用最值定理求函数的最值,但是应注意满足相应条件.如:0x,应分别对0,0 xx两种情况讨论,如果忽视Rx的条件,就会发生如下错误: 6213221)32(1321xxxxxxy,.621maxy解: 当0x时,03,02xx,又632xx,当且仅当xx32,即26x时,函数xx32有最小值...

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