算术平均数和几何平均数

1 / 15 算术平均数与几何平均数典型例题一例 1已知Rcba,,，求证.222cabcabcba证明： abba222，bccb222，caac222，三式相加，得)(2)(2222cabcabcba，即.222cabcabcba说明： 这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例 2已知cba、、是互不相等的正数，求证：abcbaccabcba6)()()(222222证明： 0222abccb，，∴abccba2)(22同理可得：abcbacabccab2)(2)(2222，．三个同向不等式相加，得abcbaccabcba6)()()(222222①说明： 此题中cba、、互不相等， 故应用基本不等式时，等号不成立． 特别地，ba，cb时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例 3求证)(2222222cbaaccbba．分析：此问题的关键是 “灵活运用重要基本不等式abba222，并能由)(2cba这一特征，思索如何将abba222进行变形，进行创造” ．证明： abba222，两边同加22ba得222)()(2baba．即2)(222baba．2 / 15 ∴)(222122bababa．同理可得：)(2222cbcb，)(2222acac．三式相加即得)(2222222cbaaccbba．典型例题四例 4 若正数 a 、 b 满足3baab，则 ab 的取值范围是．解： Rba,，∴323abbaab，令aby，得0322yy，∴3y，或1y（舍去）．∴92aby，∴ab 的取值范围是.,9说明：本题的常见错误有二． 一是没有舍去1y；二是忘了还原， 得出,3ab．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0ab后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例 5 （1）求41622xxy的最大值．（2）求函数1422xxy的最小值，并求出取得最小值时的x 值．（3）若0,0 yx，且2yx，求22yx的最小值．解：（1）41622xxy13163)1(162222xxxx.3326即 y 的最大值为.33 / 15 当且仅当13122xx时，即22x2x时，取得此最大值．（2）1141142222xxxxy3142∴y 的最小值为3，当且仅当11422xx，即4)1(22x，212x，1x时取得此最小值．（3）∴xyyx222∴222)()(2yxyx即2)(222yxyx 2yx∴222yx即22yx的最小值为2．当且仅当4yx时取得此最小值．说明： 解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例 6求函数xxy321的最值．分析： 本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0x，应分别对0,0 xx两种情况讨论，如果忽视Rx的条件，就会发生如下错误： 6213221)32(1321xxxxxxy，.621maxy解： 当0x时，03,02xx，又632xx，当且仅当xx32，即26x时，函数xx32有最小值...