线 性 代 数向 量 组 的 线性 相 关 性精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例 1 ★ 例 2 ★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理 1 ★ 定理 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 定理 3 ★ 定理 4 ★ 定理 5 ★ 例 7 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题 3-3 内容要点一、线性相关性概念定义 1 给定向量组,,,,:21sA如果存在不全为零的数,,,,21skkk使,02211sskkk (1) 则称向量组 A 线性相关 , 否则称为线性无关 . 注: ① 当且仅当021skkk时， (1)式成立 , 向量组s,,,21线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; 精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除③ 向量组只含有一个向量时，则（1）0 的充分必要条件是是线性无关的；（2）0 的充分必要条件是是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例 . ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定定理 1 向量组)2(,,,21ss线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1s个向量线性表示 . 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21sjaaanjjjj则向量组s,,,21线性相关的充要条件是 : 是矩阵),,,(21sA的秩小于向量的个数s. 推论 1 n 个 n维列向量组n,,,21线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21nA的秩等于（小于）向量的个数n . 推论 2 n 个 n维列向量组n,,,21线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21nA的行列式不等于（等于）零. 注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立. 推论 3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除定理 3 如果向量组中有一部分向量(部分组 )线性相关，则整个向量组线性相关 . 推论 4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关. 定理 4 若向量组,,,1s线性相关 , 而向量组s,,,21线性无关 , 则向量可由s,,,21线性表示且表示法唯一 . 定理 5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121tsBA向量组 B 能由向量组 A 线性表示 , 若ts, 则向量组 B 线性相关 . 推...
