信息论与编码理论1 1. 已知一个 (5, 3)线性码 C 的生成矩阵为：11001G0110100111（1）求系统生成矩阵；（2）列出 C 的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力；（4）求校验矩阵H；（5）列出译码表，求收到r=11101 时的译码步骤与译码结果。解：（1）线性码 C 的生成矩阵经如下行变换：2 3132110011001101101011010011100111100111001101101010100011100111将第 、加到第 行将第 加到第行得到线性码C 的系统生成矩阵为111000101011001SG（2）码字),,,(110ncccc的编码函数为111000101011001)(210mmmmfc生成了的 8 个码字如下信息元系统码字000 00000 001 00111 010 01010 011 01101 100 10011 101 10100 110 11001 111 11110 (3) 最小汉明距离d=2，所以可检1 个错，但不能纠错。信息论与编码理论2 (4) 由],[],,[)()(knTknkknkknIAHAIG，得校验矩阵1010101111H(5) 消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111，由 c=mGs 得码字序列c0=00000, c1=00111,c2=01010, c3=01101,c4=10011, c5=10100,c6=11001, c7=11110 则译码表如下：00000 00111 01010 01101 10011 10100 11001 11110 10000 10111 11010 11101 00011 00100 01001 01110 01000 01111 00010 00101 11011 11100 10001 10110 00001 00110 01011 01100 10010 10101 11000 11111 当接收到 r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为 c=01101。2．设（ 7, 3）线性码的生成矩阵如下010101000101111001101G（1）求系统生成矩阵；（2）求校验矩阵；（3）求最小汉明距离；（4）列出伴随式表。解：（1）生成矩阵G 经如下行变换1 32 3010101010011010010111001011110011010101010100110110011010010111010101001010100010111交换第 、行交换第、行得到系统生成矩阵：100110101010100010111SG（2）由],[],,[)()(knTknkknkknIAHAIG，得校验矩阵为信息论与编码理论3 1101000101010001100101010001H（3）由于校验矩阵H 的任意两列线性无关，3 列则线性相关， 所以最小汉明距离d=3。（4）（7, 3）线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由 c=mGs 得码字序列： c0=0000000，c1=0010111，c2=0101010，c3=0111101，c4=1001101，c5=1011010，c6=1100111，c7=1110000。又因伴随式有24=16 种组合， 差错图样为1 的有771...
