第六章线性空间习题解答P267.1 设,,MNMNM MNNIU证明 :证明 : 一方面.MNM另一方面 , 由于MM,,NM得.NMM2 证明: (1))()()(LMNMLNM.(2))()()(LMNMLNM证明 : (1) .),(LNxMxLNMx且则设即.MxNxMx或且Lx且. 于是有)()(LMNMx.另一方面 ,因为)(,)(LNMLMLNMNM,所以)()()(LNMLMNM.(2) 一方面 , ))(,)(LMLNMNMLNM,所以)()()(LMNMLNM.另一方面 , .),()(LMxNMxLMNMx且则若).(,LNMxMx则若xLxNxMx所以且则.,.LN总之有)()()(),(LNMLMNMLNMx所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1) 次数等于 n(n1)的实系数多项式的全体 ,对于多项式的加法和数量乘法.(2) 设 A 是 nn 实矩阵 , A 的实系数多项式f(A)的全体 , 对于矩阵的加法和数量乘法 .(3) 全体 n 级实对称 (反对称 ,上三角 )矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列 ,对于下面定义的运算 :),(),(),(2121212211aabbaababa,)2)1(,(),(211111akkkbkabak.(6) 平面上全体向量 ,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:k=0.(7) 集合与加法同 (6), 数量乘法为k=.(8) 全体正实数 R+,加法和数量乘法定义为 : ab=ab, ka=ak.(1) 否. ,因为 2 个 n 次多项式相加不一定是n 次多项式 . 取 f(x)=xn, g(x)=xn-1. 则f(x)+g(x)=-1 不再是 n 次多项式 .(2) 是. 因为集合]}[)(|)({xRxfAfV作为 n 级实矩阵全体的子集 , 关于矩阵的加法和数量乘法封闭 .(3) 是 . 因为实对称 (反对称 ,上三角 )矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称 ,上三角)矩阵 .(4) 否 . 设|V为平面上不平行的向量, =(a,b)0. 取=(a+1,b), =(a-1, b), 则, V, 但是, + V.(5) 证明 : 10显然 V 非空 .022 个代数运算封闭 .03先设Rtkbarbaba,),,(),,(),,(332221及2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................aa bba araaabba abaaaaaa bbba araaabbbba aa aa12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11 (1 1))(,)2aaa bbba aa aa arabaa baabaababaaabaa boooo的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(, ((1))(1)() )22klklalbl lakla k lbk kak klaooo2111((1(1...
