第六章线性空间习题解答P267
1 设,,MNMNM MNNIU证明 :证明 : 一方面
MNM另一方面 , 由于MM,,NM得
NMM2 证明: (1))()()(LMNMLNM
(2))()()(LMNMLNM证明 : (1)
),(LNxMxLNMx且则设即
MxNxMx或且Lx且
于是有)()(LMNMx
另一方面 ,因为)(,)(LNMLMLNMNM,所以)()()(LNMLMNM
(2) 一方面 , ))(,)(LMLNMNMLNM,所以)()()(LMNMLNM
另一方面 ,
),()(LMxNMxLMNMx且则若)
(,LNMxMx则若xLxNxMx所以且则
LN总之有)()()(),(LNMLMNMLNMx所以
检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间
(1) 次数等于 n(n1)的实系数多项式的全体 ,对于多项式的加法和数量乘法
(2) 设 A 是 nn 实矩阵 , A 的实系数多项式f(A)的全体 , 对于矩阵的加法和数量乘法
(3) 全体 n 级实对称 (反对称 ,上三角 )矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法
(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法
(5) 全体实数的二元数列 ,对于下面定义的运算 :),(),(),(2121212211aabbaababa,)2)1(,(),(211111akkkbkabak
(6) 平面上全体向量 ,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:k=0
(7) 集合与加法同 (6), 数量乘法为k=
(8) 全体正实数 R+,加法和数量乘法定义为 : ab=ab, ka=ak
,因为 2 个 n 次多项式相加不一定是n 次多项式
取 f(x)=xn, g(x)=xn-1
则f(x)+g(x)=-1 不再是 n 次多项式
