网络教育近世代数作业及答案

第 1 页 共 11 页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！《近世代数》作业一． 概念解释1．代数运算：一个集合BA到集合 D 的映射叫做一个BA到 D 的代数运算。2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G 对乘法运算封闭；2）结合律成立：)()(bcabca对 G 中任意三个元cba,,都成立。3）对于 G 的任意两个元ba,来说，方程bax和bya都在 G 中有解。3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。4．满射：若在集合A 到集合 A 的映射下， A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称为 A 到 A 的满射。5．群的第二定义：设G 为非空集合， G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；（2）结合律成立；（3）单位元存在；（4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若：（1）NbaNba,（2）NarNraNrNa,,7．单射：一个集合A 到 A 的映射，aa:，AaAa,，叫做一个A 到 A 的单射。若：baba。8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。（ 2）R 有单位元。（ 3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在 G 里的指数。12．环的单位元：设R 是一个环，Re，若对任意的Ra，都有aaeea，则称 e 是 R 的单位元。二．判断题1．是集合nAAA21列集合 D 的映射，则),2,1(niAi不能相同。 (×) 2．在环 R 到环 R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象 S 不一定是 R 的一个子环。 (×) 3．设 N 为正整数集，并定义abbaba),(Nba，那么 N 对所给运算能作成一个群。 (√) 4．假如一个集合A 的代数运算适合交换率，那么在naaaa321里)(Aai，元的次序可以交换。(×) 5．在环 R 到 R 的同态满射下，R 得一个理想 N 的逆象 N 一定是 R 的理想。 (√) 6．环 R 的非空子集S作成子环的充要条件是：1）若,,Sba则Sba；2）,,Sba，则Sab。(√) 第 2 页 共 11 页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！7．若是 A 与 A 间的一一映射，则1 是 A 与 A 间的一一映射。(√ ) ...