1 / 10 平几名定理、名题与竞赛题II定理 9 (Nine point round)三角形的三条高的垂足、三条边的中点以及三个顶点与垂心连线的中点,共计九点共圆.分析 要证九个点共圆,可先过其中三点作一圆,再证其余的点在此圆上.为此可考虑在三种点中各选一点作圆,再在其余三类共六个点中每类取一个点证明其在圆上,即可证明.证明:取BC 的中点 M,高 AD 的垂足 D,AH 中点 P,过此三点作圆,该圆的直径即为MP .由中位线定理知,MN ∥AB,NP∥CH ,但 CH ⊥AB,故PNM=90 ,于是,点 N 在⊙ MDP 上,同理, AB 中点在⊙ MDP 上.再由 QM ∥CH ,QP∥ AB,又得PQM =90 ,故点 Q 在⊙ MDP 上,同理, CH中点在⊙ MDP 上.由 FP 为 Rt.⊿ AFH 的斜边中线,故PFH =PHF =CHD ,又 FM 为 Rt.⊿BCF 的斜边中线,得MFC =MCF ,但CHD +DCH =90 ,故PFM =90 .又得点 F 在⊙MDP 上,同理,高BH 的垂足在⊙ MDP 上.即证.说明 证明多点共圆的通法,就是先过三点作圆,再证明其余的点在此圆上.九点圆的圆心在三角形的Euler 线上.九点圆的直径等于三角形外接圆的半径.由 OM∥AP, OM=AP,知 PM 与 OH 互相平分,即九点圆圆心在OH 上.且九点圆直径 MP=OA=⊿ABC 的外接圆半径.定理 10(三角形的内心的一个重要性质)设 I、I a 分别为⊿ ABC 的内心及A 内的旁心,而A 平分线与⊿ ABC 的外接圆交于点P,则 PB=PC=PI =PI a.例 15.设 ABCD 为圆内接四边形,Δ ABC、Δ ABD、Δ ACD 、Δ BCD 的内心依次为I 1、I 2、I 3、I4,则 I 1I 2I3I 4 为矩形. (1986 年国家冬令营选拔赛题)分析 只须证明该四边形的一个角为直角即可.为此可计算1、2、XI 2Y.证明如图, BI 2 延长线与⊙O 的交点X 为 ⌒AD 中点.且XI2=XI 3=XA=XD,于是1=12(180 -X)=90 -14⌒BC ,同理,2=90 - 14⌒CD .XI 2Y=12 (⌒XY +⌒BD ) = 14(⌒AB +⌒AD )+12(⌒BC +⌒CD ),故1+2+XI 2Y=90 +90 +14(⌒AB +⌒BC+⌒CD +⌒DA )=270 .从而I1I 2I 3=90 .同理可证其余.说明亦可证 XZ⊥YU,又 XZ 平分I 2XI 3 及 XI 2=XI 3I 2I3⊥XZ,从而 I2I3∥ YU,于是得证.定理 11 (Euler 定理 )设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为 d,则 d2=R2- 2Rr.(1992 年江苏省数学竞赛) 分析 改写此式,得: d2- R2=2...