1 / 10 平几名定理、名题与竞赛题II定理 9 (Nine point round)三角形的三条高的垂足、三条边的中点以及三个顶点与垂心连线的中点，共计九点共圆．分析 要证九个点共圆，可先过其中三点作一圆，再证其余的点在此圆上．为此可考虑在三种点中各选一点作圆，再在其余三类共六个点中每类取一个点证明其在圆上，即可证明．证明：取BC 的中点 M，高 AD 的垂足 D，AH 中点 P，过此三点作圆，该圆的直径即为MP ．由中位线定理知，MN ∥AB，NP∥CH ，但 CH ⊥AB，故PNM=90 ，于是，点 N 在⊙ MDP 上，同理， AB 中点在⊙ MDP 上．再由 QM ∥CH ，QP∥ AB，又得PQM =90 ，故点 Q 在⊙ MDP 上，同理， CH中点在⊙ MDP 上．由 FP 为 Rt．⊿ AFH 的斜边中线，故PFH =PHF =CHD ，又 FM 为 Rt．⊿BCF 的斜边中线，得MFC =MCF ，但CHD +DCH =90 ，故PFM =90 ．又得点 F 在⊙MDP 上，同理，高BH 的垂足在⊙ MDP 上．即证．说明 证明多点共圆的通法，就是先过三点作圆，再证明其余的点在此圆上．九点圆的圆心在三角形的Euler 线上．九点圆的直径等于三角形外接圆的半径．由 OM∥AP， OM=AP，知 PM 与 OH 互相平分，即九点圆圆心在OH 上．且九点圆直径 MP=OA=⊿ABC 的外接圆半径．定理 10(三角形的内心的一个重要性质)设 I、I a 分别为⊿ ABC 的内心及A 内的旁心，而A 平分线与⊿ ABC 的外接圆交于点P，则 PB=PC=PI =PI a．例 15．设 ABCD 为圆内接四边形，Δ ABC、Δ ABD、Δ ACD 、Δ BCD 的内心依次为I 1、I 2、I 3、I4，则 I 1I 2I3I 4 为矩形． (1986 年国家冬令营选拔赛题）分析 只须证明该四边形的一个角为直角即可．为此可计算1、2、XI 2Y．证明如图， BI 2 延长线与⊙O 的交点X 为 ⌒AD 中点．且XI2=XI 3=XA=XD，于是1=12(180 -X)=90 －14⌒BC ，同理，2=90 - 14⌒CD ．XI 2Y=12 (⌒XY +⌒BD ) = 14(⌒AB +⌒AD )+12(⌒BC +⌒CD )，故1+2+XI 2Y=90 +90 +14(⌒AB +⌒BC+⌒CD +⌒DA )=270 ．从而I1I 2I 3=90 ．同理可证其余．说明亦可证 XZ⊥YU，又 XZ 平分I 2XI 3 及 XI 2=XI 3I 2I3⊥XZ，从而 I2I3∥ YU，于是得证．定理 11 (Euler 定理 )设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为 d，则 d2=R2- 2Rr．(1992 年江苏省数学竞赛) 分析 改写此式，得： d2- R2=2...
