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第4章多自由度系统的振动§4-2多自由度系统自由振动的一般理论4.2.1运动方程的建立建立运动方程的基本方法直接平衡法:适合于自由度较少的集中质量离散系统；能量法：适合任意的多自由度系统；分布质量系统，离散化，有限单元法。N质点,具有L个完整约束，n自由度系统研究对象：动能：势能：xMxT21TxKxT21V拉格朗日广义函数：)2.2.4()(21TTxKxxMxL0xxLLdtd)3.2.4(0xKxM第4章多自由度系统的振动4.2.2固有频率和固有振型自由振动解：)5.4.2()sin(tAxA—振幅矢量x—位移矢量—无阻尼固有频率—初相角)6.2.4(20AMK齐次方程组：)7.2.4(02MK①无法确定A中的所有元素，但可确定其相对比值；②A中的n-1个未知元素和,可由方程(4.2.6)唯一确定。特点：特征值问题：为特征值，A为特征矢量。非零解条件—频率方程：频率方程关于2的n个根，即系统的固有频率。第4章多自由度系统的振动性质1.动能T正定，即M正定，且M和K对称，则i2必为实根；证明：设满足方程(4.2.6)的某个特征对=2和A为复数，则有0AMK0AMK0TTAMAAKA0TTAMAAKAM和K为对称矩阵0AMAAKATT以上二式相减:)11.2.4(0TAMAM正定:T0AMA证毕#性质2.若势能V也是正定，即K正定，即系统具有足够的约束，不会发生刚体位移，则i2必为正的实根；证略。第4章多自由度系统的振动设系统的n个特征值互异:ni21,,,,,i)12.2.4(20iiAMK系数矩阵奇异，矩阵的秩=n－1。计算Ai的具体过程：①任选n－1个方程;②取Ai中某个元素为单位1，化为n－1阶非齐次方程组;③求解得Ai，作归一化处理得归一化振型i。n个特征对：ni21,,,,,niφφφφ,,,,,21第4章多自由度系统的振动00003212323222121323332333223231231222232232222221221121132131221211211niiiinninnninninninniniiininiiininiiiAAAAmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkmk12131231212213222232322232333233322322222322322222niniiniiininninninniniininiimkmkmkAAAmkmkmkmkmkmkmkmkmk11iA第4章多自由度系统的振动例4.2.1计算例3.4.3中三层框架的固有频率和固有振型。解:321mmm2k3/k5/k112mM330385052015kK特征方程：0002515151158313134km/2086183.0100000.156908016339.01.φ)(1φ第4章多自由度系统的振动mk93192.066734.029357.032129919.081517.00.10.10.156908082589.075306.016339.0.φ44534.0283517.000000.175306.02φ)(2φ86847.0329919.000000.182589.03φ)(3φ第4章多自由度系统的振动332173744.2695139.951979.1mhEI0.184172.015642.069898.00.153165021519.066331.00.1.φ例4.2.2求例3.4.4所述系统的固有频率和振型矩阵。mm3mm2mm133hEI解:mmm000000M8046124644161216713813hEIK)81/(1323EImh特征方程：080461246441612167第4章多自由度系统的振动4.2.3主坐标在特定的初始条件下，系统可能以单一的振型振动—主振动)sin()(iiiijijtAtx),,2,1,(njiji(j=1,2,…,n)—第i阶归一化振型矢量的各元素自由振动一般解:)13.2.4()sin()(1iiiniijjtAtx...