弹性力学第四章用极坐标解平面问题

第四章 用极坐标解平面问题 4 .1 .极坐标中的平衡微分方程 工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。 首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。用夹角为 d的两条极径和两条半径相差为 d的同心圆弧截取一个微元体（图 4 .1 ）。圆弧截面称为 面。面的法向沿径向而且指向 增加方向，这一圆弧面称为正 面，反之称为负 面。极径截面称为面。面的法向沿环向而且指向增加方向，这一极径截面称为正面。反之称为负面。 面上的正应力用表示，剪应力用表示。面上的正应力用表示，剪应力用表示。用f 表示体积力在径向的分量,用f 表示体积力在环向的分量。应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。 直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图 4 .2 所示。 负 面上的正应力为，剪应力为；正 面的坐标比负 面增加了 d，所以正 面的应力和负 面相比，应力产生了一个增量，分别为d和d。负面上的正应力为，剪应力为；正面的坐标比负面增加了 d，所以正面的应力和负面相比，应力产生了一个增量，分别为d和d。 doxyρKK 图 4 .1 极坐标下的应力符号 ddoxydρKKddd 图 4 .2 单元体上的应力 由于微分单元体厚度是1，所以负面的面积为d，正面的面积为d)d( ；正、负...