数值分析原理第四章

58 第四章 函数插值 插值是对函数进行近似的基本方法，本章介绍了代数插值时常用的Lagrange 插值法、Newton 插值法、Hermite 插值法和三次样条插值法，并相应的介绍了差商，差分和插值余项等概念． §4.1 引 言 在科学与工程计算中，常会遇到如下问题：已知)(xfy 在区间[ , ]a b 上的一系列点 niix0 处的函数值 niiy0 ，需要利用这些数据来求某点)(ixxx处的函数值的近似值．若能利用这组数据建立一个近似)(xf的函数)(x，)(xf的值就可以用)(x近似求出． 已知函数)(xf在区间],[ba上1n个互异节点 niix0 处的函数值 niiy0 ．若函数集合中函数( )x满足条件 ( )( ) (0,1,2,, )iixf xin (4.1) 则称)(x为)(xf在中关于节点 niix0 的一个插值函数，并称)(xf为被插值函数，],[ba 为插值区间， niix0 为插值节点．式(4.1)被称为插值条件． 函数集合可以有不同的选择，最常用的是形式简单的多项式函数集合．将多项式作为插值函数进行插值的方法称为代数插值．针对区间],[ba上1n个互异节点，代数插值就是 要确定一个不超过n 次的多项式 nnxaxaax10)( (4.2) 使其满足插值条件(4.1)，即选取参数 0niia ，满足线性方程组 00001111111nnnnnnnayxxayxxayxx       (4.3) 59 记方程组(4.3)的系数矩阵为A ．由于插值节点互异，故0)()det(1)(0njijjixxA．线性方程组(4.3)存在惟一的一组解T),,,(10naaa．若0na，)(x是一个n 次多项式，否则)(x的次数低于n ．于是有下面的结论． 定理 4.1 满足插值条件(4.1)的不超过n 次的多项式存在并且惟一． )(x与)(xf在插值节点 niix0 处函数值相同，但它们在其它 x 处的函数值并不一定相同．将 ( )( )( )nR xf xx (4.4) 称为用插值多项式)(x近似)(xf的插值余项． 定理 4.2 )(x是对)(xf关于节点 niix0 的n 次插值多项式，若)()1(xfn在区间],[ba内存在，则对[ , ]xa b ，有插值余项 (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnfR xf xxxn (4.5) 其中),()(bax  ，101( )()()()nnxxxxxxx． 证明 由于)(x与)(xf在插值节点上函数值相同，故 ( )( )( )0...