1 数列与不等式的题型分类.解题策略 题 型 一 求 有 数 列 参 与 的 不 等 式 恒 成 立 条 件 下 参 数 问 题 求 得 数 列 与 不 等 式 结 合 恒 成 立 条 件 下 的 参 数 问 题 主 要 两 种 策 略 ： (1)若 函 数 f(x)在 定 义 域为 D， 则 当 x∈ D 时 ， 有f(x)≥ M 恒 成 立 f(x)min≥ M； f(x)≤M 恒 成 立 f(x)max≤M； (2)利 用 等差 数 列 与 等 比 数 列 等 数 列 知 识 化 简 不 等 式 ， 再 通 过 解 不 等 式 解 得 . 【 例1】 等 比 数 列 {an}的 公 比q＞ 1， 第17 项 的 平 方 等 于 第24 项 ， 求 使a1＋ a2＋ …＋an＞ 1a1＋ 1a2＋ …＋ 1an恒 成 立 的 正 整 数 n 的 取 值 范 围 . 【 分 析 】 利 用 条 件 中 两 项 间 的 关 系 ， 寻 求 数 列 首 项 a1 与 公 比 q 之 间 的 关 系 ， 再 利 用 等比 数 列 前 n 项 公 式 和 及 所 得 的 关 系 化 简 不 等 式 ， 进 而 通 过 估 算 求 得 正 整 数 n 的 取 值 范 围 . 【 解 】 由 题 意 得 ： (a1q16)2＝ a1q23， ∴ a1q9＝ 1. 由 等 比 数 列 的 性 质 知 ： 数 列 {1an}是 以 1a1为 首 项 ， 以 1q为 公 比 的 等 比 数 列 ， 要 使 不 等 式 成 立 ， 则 须 a1(qn－ 1)q－ 1＞1a1[1－ (1q)n]1－ 1q， 把 a21＝ q18 代 入 上 式 并 整 理 ， 得 q18(qn－ 1)＞ q(1－ 1qn)， qn＞ q19， q＞ 1， ∴ n＞ 19， 故 所 求 正 整 数 n 的 取 值 范 围 是 n≥ 20. 【 点 评 】 本 题 解 答 数 列 与 不 等 式 两 方 面 的 知 识 都 用 到 了 ， 主 要 体 现 为 用 数 列 知 识 化 简 ，用 不 等 式 知 识 求 得 最 后 的 结 果 .本 题 解 答 体 现 了 转 化 思 想 、 方 程 思 想 及 估 算 思 想 的 应 用 . 【 例 2】 （ 08·全国Ⅱ）设数 列 {an}的 前 n 项 和 为 Sn．已知 a1＝ a，an+1＝ Sn＋ 3n，n∈ N*．(Ⅰ)设bn＝ Sn－ 3n， 求 数 列 {bn}的 通 项 公 式 ；（ Ⅱ）若 an+1≥ an， n∈ N*， 求 a...
