数列通项公式与求和讲解与习题

盛阳教育 SHENG YANG EDUCATION 高中部●数学学科组 1 数列通项与求和 一．求数列通项公式 1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。） 例．等差数列 na是递增数列，前 n 项和为nS ，且931,,aaa成等比数列，255aS ．求数列 na的通项公式． 答案：35nan 2．公式法：已知nS （即12( )naaaf n）求na ，用作差法：11,(1),(2)nnnanaSSn  例．设正整数数列{}na前 n 项和为nS ，满足21 (1)4nnSa，求na 答案：21nan 3．作商法：已知12( )na aaf n求na ，用作商法：(1),(1)( ) ,(2)(1)nfnf nanf n 。 如数列}{na中，,11 a对所有的2n都有2321naaaan ，则53aa ； 答案： 6116 4．累加法：若1( )nnaaf n 求na ：11221()()()nnnnnaaaaaaa。 例．已知数列，且 a1=2，an +1=an+n ，求an ． 答案：242nnna 5．累乘法：已知1( )nnaf na 求na ，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n  例．已知数列 na满足321 a，nnanna11，求na 。 答案：23nan 6．已知递推关系求na ，用构造法（构造等差．等比数列）。 （1）形如 nfp aann1只需构造数列 nb，消去  nf带来的差异．其中 nf有多种不同形式 ①  nf为常数，即递推公式为qp aann1（其中p，q均为常数，)0)1((pp q）。 1a(2)n 盛阳教育 SHENG YANG EDUCATION 高中部●数学学科组 2 解法：转化为：)(1taptann，其中 pqt 1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例． 已知数列 na中，11 a，321nnaa，求na ． 答案：123nna ②  nf为一次多项式，即递推公式为srnpaann1 例．设数列 na：)2(,123,411nnaaann，求na ． 答案：16 31nnan ③ )(nf为n 的二次式，则可设CBnAnabnn2； （2）递推公式为nnnqpaa1（其中p，q 均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq ，其中p，q， r均为常数） 解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111• 引入辅助数列 nb（其中nnnqab ），得：qbqpbnn11再应用类型（1）的方法解决。 例．已知数列 na...