第三节 曲面及其方程 [教学目的]掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图 [教学重点]曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程 [教学难点]空间想象能力和曲面图形的描绘 [教学过程] 一、问题的提出 在日常生活中，我们经常遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。那这些曲面相应的方程是什么呢，怎样才能准确地画出准确的图形呢？ 二、曲面方程的概念 （一）曲面方程的基本概念 在一般情况下，如果曲面S 与三元方程 ( , , )0F x y z （1 ） 有下述关系： （1 ） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1 ）； （2 ） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1 ） 那么方程（1 ）就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1 ）的图形。 象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。 （二）建立几个常见的曲面方程 例 1 若球心在点0000(,,)Mxyz，半径为 R ，求该球面方程。 解：设( , , )M x y z 是球面上任一点，那么 0M MR 又 2220000()()()M Mxxyyzz 故 2222000()()()xxyyzzR （2 ） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以0000(,,)Mxyz为球心，R 为半径的球面方程。 如果球心在原点，那么0000xyz，从而球面方程为 2222xyzR 将（2 ）式展开得 2222220000002220xyzx xy yz zxyzR 所以，球面方程具有下列两个特点： （1 ） 它是, ,x y z 之间的二次方程，且方程中缺,,xy yz zx 项； （2 ） 222,,xyz 的系数相同且不为零。 （三）曲面研究的两个基本问题 以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量, ,x y z 间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。 （1 ） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。 （2 ） 已知坐标, ,x y z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。 例2 方程22240xyzxy表示怎样的曲面？ 解：配方，得 22211 7(2 )()24xyz 所以所给方程为球面，球心为1(2 ,,0 )2，半径为1 72。 三、旋转曲面 （一）旋转曲...
