行列式的计算方法

行列式的若干计算方法王小虎指导教师 : 晏兴学( 河西学院数学与统计学院甘肃张掖 734000) 摘 要 归纳总结行列式的计算方法, 并举例说明它们的应用.关键词行列式 ; 初等变换 ; 计算方法 ; 化简中图分类号O175 The number of calculation method of determinant Wang Xiaohu Instructor: Yan Xingxue (School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000) Abstract : Summarized determinant method of calculation, and examples of their application. Keywords: Determinant; elementary transformation; calculation methods; simplification. 引言行列式是研究线性代数的一个重要工具, 在线性方程组, 矩阵 , 二次型中用到行列式, 在数学其它分支也常常用到行列式, 因此行列式的计算显得尤其重要, 但行列式的计算灵活多变, 需要较强的技巧, 一直是学生不易领会和掌握的, 本文在已经学过行列式的计算方法的基础上总结出如下一些常用方法. 1定义法根据行列式的定义1 2121 2()12( 1)nnnj jjnjjnjj jjDaaa我们可以利用定义直接计算行列式,其中11()nj jj是11nj jj 的逆序数 . 例 1 证明111213141521222324253132414251520000000000aaaaaaaaaaDaaaaaa. 分析观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法. 证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212njjnjaaa则125121 25()12( 1)nj jjnjjnjj jjDaaa. （1）其中115,,,jjj 为 1,2,3, 4,5 的任意排列 ,在 D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（ 1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列. 故 D =0. 注意此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多. 2 化三角形法化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法,是计算行列式最基本的计算方法之一,这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式. 一般而言 ,对任意行列式都可化为三角形行列式,但是有的行列式化简时非常繁琐,应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简 . 例 2 计算行列式12312341345121221nnnnDnnn. 分析直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第1n列乘 -1 加到第 n 列 ,第2n...