评述韦达定理的价值

NO.* 1N0.* 评述韦达定理的价值1559 年，法国数学家韦达提出一个关一元n 次方程根与系数关系的定理：设方程 a0xn+a1xn-1+a2xn-2⋯+an-1x+an=0 的 n 个根为想 x1，x2，⋯，xn，那么 x1+x2+⋯+x n= 01aax1x2+x1x3+⋯+x1xn+⋯+xn-1xn=02aa⋯⋯x1x2⋯xn=（— 1）n 0aan后人称为韦达定理。韦达(Viete,Francois)是法国十六世纪最有影响的数学家之一。1540 年出生于法国普瓦捷 ,1603 年 12 月 13 日卒于法国巴黎。他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系 , 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete ’s Theorem)。一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，它既是一个难点，也是一个重点，起到了一个灵魂的作用。其知识脉络贯穿于中学数学的始终。韦达定理在方程论中有着广泛的应用，它是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它可进一步研究跟的性质，也可以将一些表面上看上去不是与原二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用非常广泛。它不仅可以解答方程的问题同样也可以解答几何中的问题。韦达定理解答了多方面的问题，涉及的面很广泛，充分发挥了它在数学领域中的价值。下面我们就来看一下他的具体应用。1.用韦达定理来解决方程或方程组的问题，可以起到化繁为简、 化难为易的作用，从而使这些问题得到顺利的解决。NO.* 2N0.* 例 1 解决方程3104444xxxx。解 因为3104444xxxx，而14444xxxx，所以由韦达定理知，44xx和44xx是一元二次方程 t2-310 t+1=0 的两个根。由于这个方程的两个根为t 1=3,t2=31 ,所以，可得3144344xxxx或3443144xxxx因为344xx与3144xx等价，而3144xx与344xx等价，所以，我们只需解344xx与3144xx即可。分别解这两个方程，得x1=5，x2=-5 。经检验知， x1=5和 x2=-5 是原方程的解。例 2 解方程组651222yxyxyxx解 将原方程组变形为有韦达定理知，yx1 和yx 是方程 t2-5t+6=0 的两个根 ,而该方程的两个根是t1=3, t2=2,因此，可得31yx，2yx，或21yx，3yx。对于31yx，2yx，由韦达定理知， x 和y1 是方程 u2-3u+2=0 的两个根，而该方程没有实数解，故方程组321yxyx，没有实数解。NO.* 3N0.* 经检验知，21111yx，1222yx是原方程组的解。摘自《里用韦达定理解方程（组）王瑞琦》2.韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数间的关系，应用十分广泛， 我们在学习中英领悟定理的本质意义，由浅入深地掌...