第一讲 转化思想 一、线段和、差 “牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目,主要转化成“两点之间线段最短问题”,在最近几年的中招试题及竞赛中,该问题经过不同的转化及演变,一 一浮现在我们的眼前,使我们目不暇接,顾此失彼。因此,我们有必要作一下总结,找出其中的规律,以做到屡战屡胜的效果。 原题:如图,一位小牧童,从 A 地出发,赶着牛群到河边饮水,然后再到 B 地,问怎样选择饮水的地点,才能使牛群所走的路程最短? 延伸一:某供电部门准备在输电主干线 L 上连接一个分支线路,分支点为 M ,同时向新落成的 A、B 两个居民小区送电。已知两个居民小区 A、B 分别到主干线的距离 AA1=2 千米,BB1=1 千米,且 A1B1=4 千米。 (1)如果居民小区 A、B 位于主干线 L 的两旁,如图(1)所示,那么分支点 M 在什么地方时总路线最短?最短线路的长度是多少千米? (2)如果居民小区 A、B 位于主干线 L 的同旁,如图(2)所示,那么分支点 M 在什么地方时总路线最短?此时分支点 M 与 A1 的距离是多少千米? •A •B • A • B • B • A • A’ • B’ • A’ • B’ L L 延伸二:如图,正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上,且DM=2,N 是AC 上一动点,则DN+MN 的最小值是多少? 延伸三:如图,A 是半圆上一个三等分点,B 是弧AN 的中点,P 是直径MN 上一动点, ⊙O 的半径为1,求AP+BP 的最小值。 延伸四:如图所示,在边长为6 的菱形ABCD 中,∠DAB=600,E 为AB 的中点,F 是AC 上一动点,则EF+BF 的最小值是多少? 延伸五:在直角坐标系 XOY 中x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5),Q(2,1)的距离分别为MP 和 MQ,那么当 MP+MQ 取最小值时,点M 的横坐标 x=? A B M N O P x y o M P Q A B C D M N A B C D E F • • 例,如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,E、F 分别是 AB、CD 的中点,求证 EF= (AB-CD) 二、面积问题 例,如图, 中,BC=4, ,P为 BC 上一点,过点P作 PD//AB,交 AC 于 D。连结 AP,问点 P在BC 上何处时, ⊿APD 面积最大? ABC6032ACBAC, A D B P H C 21三、中考题 如图,已知RtABC△,1D 是斜边AB 的中点,过1D 作11D EAC⊥于E1,连结1BE 交1CD于2D ;过2D 作22D EAC⊥于2E ,连结2BE 交1CD 于3D ;过3D 作33D EAC...