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期望与方差经典例题拓展习题方法总结

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1 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1 、高考考点链接 “离散型随机变量的分步列,均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸,在本讲的学习中,同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念,认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性.要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件,会用分布列来计算这类事件的概率,计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.在高考中,这部分知识通常有一道解答题,占 12─14 分左右,主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力,凸显数学的应用价值. 2 、高考考点梳理 知识结构: 1.离散型随机变量的分布列: 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,„,xi,„ ξ 每一个值 xi(i=1,2,┄)的概率 P(ξ=xi)=pi,则称表  1x 2x „ ix „ nx P 1p 2p „ ip „ np 为离散型随机变量ξ 的概率分布(分布列). 2.随机变量的期望与方差: nniipxpxpxpxEX2211为随机变量X 的均值或数学期望. 121)(pEXxDX222)(pEXxiipEXx2)(+nnpEXx2)(为随机变量X 的方差. 3 、经典例题选讲与方法归纳 例 1 某公司有 5万元资金用于投资开发项目.如果成功,一年后可获利 12%;一旦失败, 2 一年后将失去全部资金的 50%.下边是过去 200例类似项目开发的实施结果: 投资成功:192次;投资失败:8次. 则该公司一年后估计可获收益的期望是 (万元). 解析:获得收益 ξ的概率分布为: Eξ=53 ×20019225×20080.476(万元). 归纳小结:收益 ξ的取值及相应概率的确定是解决问题的基础.本题考查求数学期望的方法,按照确定随机变量的取值——求出相应的概率——再求数学期望的步骤来求. 例 2(2009 年安徽卷)某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C,因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 12.同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是13.在这种假定之下,B、C、D 中直接..受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值(即数学期望). 分析一:X 的所有可能取值为 1,2,3. 313221)1(XP; 2121313221)2(XP; 613121)3(XP. ...

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