期望与方差经典例题拓展习题方法总结

1 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1 、高考考点链接 “离散型随机变量的分步列，均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性．要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占 12─14 分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值． 2 、高考考点梳理 知识结构： 1.离散型随机变量的分布列： 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1，x2，„，xi，„ ξ 每一个值 xi（i=1，2，┄）的概率 P（ξ=xi）=pi，则称表  1x 2x „ ix „ nx P 1p 2p „ ip „ np 为离散型随机变量ξ 的概率分布（分布列）． 2.随机变量的期望与方差： nniipxpxpxpxEX2211为随机变量X 的均值或数学期望． 121)(pEXxDX222)(pEXxiipEXx2)(+nnpEXx2)(为随机变量X 的方差． 3 、经典例题选讲与方法归纳 例 1 某公司有 5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利 12%；一旦失败， 2 一年后将失去全部资金的 50%．下边是过去 200例类似项目开发的实施结果： 投资成功：192次；投资失败：8次. 则该公司一年后估计可获收益的期望是 （万元）． 解析：获得收益 ξ的概率分布为： Eξ=53 ×20019225×20080.476（万元）. 归纳小结：收益 ξ的取值及相应概率的确定是解决问题的基础．本题考查求数学期望的方法，按照确定随机变量的取值——求出相应的概率——再求数学期望的步骤来求． 例 2（2009 年安徽卷）某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A到过疫区．B 肯定是受 A 感染的．对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 12．同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是13．在这种假定之下，B、C、D 中直接．．受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量．写出 X 的分布列（不要求写出计算过程），并求 X 的均值（即数学期望）． 分析一：X 的所有可能取值为 1，2，3． 313221)1(XP; 2121313221)2(XP; 613121)3(XP. ...