第;六章 广义函数与 Sobolev 空间简介 第六章 广义函数与 Sobolev 空间简介 函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。 例 6.1（脉冲） 20 世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。这套算法要求对如下函数 10( )00xh xx 求导数，并把导数记为 ( )x。但按照经典分析的理论， ( )h x 并不可导，因此 ( )x不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。但是，这个 ( )x在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。 例 6.2（Dir ac 符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))i xex ， 是实参数，并考虑如下形式的积分 12i xedx 这种积分按 Cauchy 积分来定义，即 111 sinlimlim22ni xi xnnnnedxedx 显然，这个极限在普通意义下不存在。然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的( )x，并认为是 Dirac 符号。特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于( )x的运算法则，并广泛地使用。 例 6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。20 世纪 30 年代，Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的 Sobolev 空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。 基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。20 世纪 40 年代，Schwartz 完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950 年获得数学最高奖——菲尔兹奖。 6.1 基本函数空间与广义函数 6.1.1 基本函数空间 把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。 在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。 对 于欧 氏 空 间12,(,,,)nnRxx xx表 示nR 中 的 点 ， 范数1222212()nxxxx。 设12,,,np pp为 n 个 非 负 整 数 ， 有 ...
