洛必达法则与泰勒公式精讲

洛必达法则与泰勒公式精讲 一、洛必达法则 定义：若函数 和 满足下列条件： ⑴ ， ； ⑵ 在点的某去心邻域内两者都可导，且 ； ⑶ （ 可为实数，也可为 ±∞ 或 ），则 适用对象：，型未定式。（其它类型未定式：，，，， 等 ，可通过简单变换而转化为，型未定式。 注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量 是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作 为替 代 。 1、 求极 限1lnlim1xxxx xx. 211)1(lnlim111)1(lnlim2211xxxxxxxxxxxxx解： 2、 求极限.1lim211000xxex 0!50lim50limlimlim,1tt49t50t50t2tttteetetetx则原式可化为解：令 3、 求极限.)4cos2(sinlimxxxx  2001)14cos2(sin010)1(2)4sin42cos2(lim14cos2sinlimlim)4cos2(sinlim13(,01ettttetteuxtttttttttvuv故原式又因为原式种方法）得见求极限的则由公式解：令 4、 求极限.cossin1lim20xxxx 34cos24limsin24limcos12limcossin1cossin1lim0022020xxxxxxxxxxxxxxxxxx）（解：原式 二、泰勒公式 泰勒公式是求数学极限的重要技术性工具，我们要将以下几个重要函数的泰勒公式熟稔于心 )0( x )(!2)1(1)1()(!31!211)(3121)1ln()(31arct an)(61arcsin)(31t an)(!41!211cos)(61sin2233233233333344233xoxxxxoxxxexoxxxxxoxxxxoxxxxoxxxxoxxxxoxxxx注：对以上公式进行处理，可得到一组“ 差 函数” 的等 价 无 穷 小 替 换 式：如等（，（同理有（，则如),061~arcsin)031~tan)061~sin)(61sin33333xxxxxxxxxxxxxoxxx 1、 求极限.)1tan(lim2nnnn 解：原式01,lim1tanln2ntennnn令 原式 3tan21tan2limlimlimtanlntttttteeenntttn 又 )(31tan33tottt 31)(31limtanlim333tttotttttnn 即原式31 2、 求极限)]1ln()1([lim220axaxxax. 解：)()(21)1ln(2xoaxaxax 21)2121(lim))]()(21)(1([lim)]1ln()1([lim24302220220xaaxaxoaxaxaxxaaxaxxaxxx原式 3、 求极限)(lim656...