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近世代数习题解答2 2 近世代数习题解答第二章群论1 群论1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群 ? 证不是一个群 ,因为不适合结合律 . 2. 举一个有两个元的群的例子. 证}1,1{G对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明 , 我们也可以用条件1,2 以及下面的条件'' 5,4 来作群的定义 : '4 . G 至少存在一个右单位元e,能让aae对于 G的任何元 a 都成立'5 . 对于 G 的每一个元a,在 G 里至少存在一个右逆元,1a 能让eaa1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由eaa1得eaa1因为由'4 G 有元'a 能使eaa'1所以))(()('111aaaaeaaeaaaeaaaaa'1'1'11][)]([即eaa1(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元 ,意即由aae得aeaaaeaaaaaaea)()(11即aea这样就得到群的第二定义. (3) 证bax可解取bax13 bbebaabaa)()(11这就得到群的第一定义 . 反过来有群的定义得到'' 5,4是不困难的 . 2 单位元 ,逆元,消去律1.若群 G的每一个元都适合方程ex2,那么 G就是交换群 . 证由条件知 G中的任一元等于它的逆元,因此对Gba,有baababab111)(. 2.在一个有限群里阶大于2 的元的个数是偶数 . 证(1) 先 证a 的 阶 是n 则1a 的 阶 也 是n.eeaaeannn111)()(若 有nm使eam)(1即eam1)(因 而1eameam这与 a 的阶是 n 矛盾 .a 的阶等于1a 的阶(2) a 的 阶 大 于 2 , 则1aa若eaaa21这与 a 的阶大于 2矛盾(3) ba则11ba总起来可知阶大于2的元 a 与1a 双双出现 ,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3.假定 G 是个数一个阶是偶数的有限群,在 G 里阶等于 2的元的个数一定是奇数 . 证根据上题知 ,有限群G 里的元大于2的数;因此阶2 的元的个数仍是偶数,但阶是 1的元元,所以阶2的元的个数一定是奇数 . 4.一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证Ga4 故Gaaaanm,,,,,,2由于 G 是有限群 ,所以这些元中至少有两个元相等 : nmaa)(nm故eamnmn是整数 ,因而 a的阶不超过它 . 4 群的同态假 定 在 两 个 群 G 和 G 的 一 个 同 态 映 射 之下,aa， a和 a的阶是不是一定相同 ? 证不一定相同例如}231,231,1{iiG}1{G对普通乘法GG, 都作成群 ,且1)( x(这里 x 是G的任意元 ,1是 G 的元 ) 由可知G∽ G但231,231ii的阶都是 3. 而 1的阶是 1.5 变换群1.假定是集合的一个非一一变换, 会不会有一个左逆元1,使得1? 证 我们的回答是回有的},3,2,1{A1: 1→1...