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1：证明： :实数域 R 上全体 n 阶方阵的集合Mn(R) ，关于矩阵的加法构成一个交换群。证：（1）显然， Mn(R) 为一个具有“ +”的代数系统。（2） 矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。（3） 矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。（4）零元是零矩阵。A ∈Mn(R),A+0=0+A=A。（5）A∈Mn(R), 负元是 -A 。A+(-A)=(-A)+A=0。∴（ Mn(R),+ ）构成一个Abel 群。2：证明：实数域R 上全体 n 阶可逆方阵的集合GLn(R) 关于矩阵的乘法构成群。这个群称为 n 阶一般线形群。证明：显然GLn(R) 是个非空集合。对于任何的A,B ∈GLn(R) ，令 C=AB, 则 C=|AB|=|A||B| ≠0,所以 C∈GLn(R) 。⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。⑵对任意 A ∈GLn(R) ，AE=EA ，所以 E 是单位元。⑶任意的 A ∈GLn(R) ，由于∣ A ∣≠ 0,∴ A 的逆矩阵1A，满足EAAAA11且∴ A 的逆元是1A.所以， GLn(R) 关于矩阵的乘法构成群。3：证明 :实数域 R 上全体 n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群 . 证：（1）由于 E∈On (R), On (R)非空。(2 ) 任意 A,B ∈On (R)，有（ AB ）T=BTAT=B-1A-1=(AB) -1, ∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。(3) 矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。（4）对任意 A ∈On (R) ，有 AE=EA=A ．∴E 为 On (R)的单位元。（5）对任意 A ∈On (R) ，存在 A T∈On (R)，满足 AAT=E=AA-1, ATA=E=A-1A．∴AT 为 A 在 On (R)中的逆元。∴On (R) 关于矩阵的乘法构成一个群。4：证明：所有行列式等于1 的 n 阶整数矩阵组成的集合SLn(Z), 关于矩阵的乘法构成群。证明： En∈SLn(Z) ，∴ SLn(Z) 是个非空集合。对任意 A,B ∈ SLn(Z), 记 C=AB, 则 C 是整数矩阵， 且 C= ∣AB ∣=∣ A∣∣B∣=1,∴C∈SLn(R) ，即 SLn(R) 关于矩阵的乘法封闭。（1） 矩阵乘法有结合律，∴结合律成立。（2） 对任意的 A∈SLn(Z) ，AE=EA=A, 且 E∈SLn9Z), ∴ A 的单位元是单位矩阵 E。（3） 对任意的 A∈ SLn(Z), 因为 A∈ Mn(Z), 故*A ∈Mn(Z), 又*11AAAA且11AA,所以1A∈SLn(Z), 又EAAAA11,故 A 的逆元为1A。所以 ，SLn（Z）关于矩阵乘法构成群。5:在整数集中 ,规定运算“∈ ”如下： a⊕b=a+b-2, a,b∈Z.证明：（Z, ⊕）构成群。证 （1）对于任意a，b⊕Z 有...