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选修不等式选讲知识点

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高中数学选修 4--5 知识点1、不等式的基本性质①(对称性) abba②(传递性),ab bcac③(可加性) abacbc(同向可加 性)dbcadcba,(异向可减 性)dbcadcba,④(可积性)bcaccba0,⑤( 同向正数 可乘性)0,0abcdacbd(异向正数 可除性)0,0ababcdcd⑥(平方法则)0(,1)nnababnNn且⑦(开方法则)0(,1)nnabab nNn且⑧(倒数法则)babababa110;1102、几个重要不等式①222abab abR,, (当且仅当 ab 时取 ""号) . 变形公式:22.2abab②(基本不等式)2abababR,, (当且仅当 ab 时取到等号) .变形公式:2abab2.2abab用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件 “一正、二定、三相等” .③(三个正数的算术—几何平均不等式)33abcabc ()abcR、 、(当且仅当 abc时取到等号) .④222abcabbcca abR,(当且仅当 abc 时取到等号) .⑤3333(0,0,0)abcabc abc(当且仅当 abc 时取到等号) .⑥0,2baabab若则(当仅当 a=b 时取等号)0,2baabab若则(当仅当 a=b 时取等号)⑦banbnamambab1,(其中000)abmn,,规律:小于 1 同加则变大,大于1 同加则变小 .⑧220;axaxaxaxa当时,或⑨绝对值三角不等式.ababab3、几个着名不等式①平均不等式:2211222abababab,,a bR(,当且仅当 ab 时取 "" 号).(即调和平均几何平均算术平均平方平均) .变形公式:②幂平均不等式:③二维形式的三角不等式:④二维形式的柯西不等式:22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当 adbc时,等号成立 .⑤三维形式的柯西不等式:⑥一般形式的柯西不等式:⑦向量形式的柯西不等式:设,ur ur是两个向量,则,ur urur ur当且仅当ur是零向量,或存在实数 k ,使kurur时,等号成立 .⑧排序不等式(排序原理) :设1212...,...nnaaabbb 为两组实数 .12,,...,nc cc 是12,,...,nb bb 的任一排列,则12111 122......nnnnna ba ba ba ca ca c1 122....nna ba ba b (反序和乱序和顺序和),当且仅当12...naaa 或12...nbbb 时,反序和等于顺序和 .⑨琴生不等式 : (特例 : 凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数( )f x , 对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x) 为凸(或凹)函数 .4、不等式证明的几种常用方法常用方法有: 比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法;其它方法有:换元...

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