习题2-11.设物体绕定轴旋转,在时间间隔[0,t]内转过的角度为q,从而转角q是t的函数:q=q(t).如果旋转是匀速的,那么称为该物体旋转的角速度,如果旋转是非匀速的,应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？解在时间间隔[t0,t0+Dt]内的平均角速度为,故t0时刻的角速度为.2.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？解物体在时间间隔[t0,t0+Dt]内,温度的改变量为DT=T(t+Dt)-T(t),平均冷却速度为,故物体在时刻t的冷却速度为.3.设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元,此函数f(x)称为成本函数,成本函数f(x)的导数f¢(x)在经济学中称为边际成本.试说明边际成本f¢(x)的实际意义.解f(x+Dx)-f(x)表示当产量由x改变到x+Dx时成本的改变量.表示当产量由x改变到x+Dx时单位产量的成本.表示当产量为x时单位产量的成本.4.设f(x)=10x2,试按定义,求f¢(-1).解.5.证明(cosx)¢=-sinx.解xxxxxxsin]22sin)2sin([lim0-=DDD+-=D.6.下列各题中均假定f¢(x0)存在,按照导数定义观察下列极限,指出A表示什么:(1);解.(2),其中f(0)=0,且f¢(0)存在;解.(3).解=f¢(x0)-[-f¢(x0)]=2f¢(x0).7.求下列函数的导数:(1)y=x4;(2);(3)y=x1.6;(4);(5);(6);(7);解(1)y¢=(x4)¢=4x4-1=4x3.(2).(3)y¢=(x1.6)¢=1.6x1.6-1=1.6x0.6.(4).(5).(6).(7).8.已知物体的运动规律为s=t3(m).求这物体在t=2秒(s)时的速度.解v=(s)¢=3t2,v|t=2=12(米/秒).9.如果f(x)为偶函数,且f(0)存在,证明f(0)=0.证明当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),所以,从而有2f¢(0)=0,即f¢(0)=0.10.求曲线y=sinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:,x=p.解因为y¢=cosx,所以斜率分别为,.11.求曲线y=cosx上点处的切线方程和法线方程式.解y¢=-sinx,,故在点处,切线方程为,法线方程为.12.求曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程.解y¢=ex,y¢|x=0=1,故在(0,1)处的切线方程为y-1=1×(x-0),即y=x+1.13.在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点,作过这两点的割线,问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解y¢=2x,割线斜率为.令2x=4,得x=2.因此抛物线y=x2上点(2,4)处的切线平行于这条割线.14.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:(1)y=|sinx|;(2).解(1)因为y(0)=0,,,所以函数在x=0处连续.又因为,,而y¢-(0)y¢+(0),所以函数在x=0处不可导.解因为,又y(0)=0,所以函数在x=0处连续.又因为,所以函数在点x=0处可导,且y¢(0)=0.15.设函数为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a,b应取什么值？解因为,,f(1)=a+b,所以要使函数在x=1处连续,必须a+b=1.又因为当a+b=1时,,所以要使函数在x=1处可导,必须a=2,此时b=-1.16.已知求f+¢(0)及f-¢(0),又f¢(0)是否存在？解因为f-¢(0)=,f+¢(0)=,而f-¢(0)f+¢(0),所以f¢(0)不存在.17.已知f(x)=,求f¢(x).解当x<0时,f(x)=sinx,f¢(x)=cosx;当x>0时,f(x)=x,f¢(x)=1;因为f-¢(0)=,f+¢(0)=,所以f¢(0)=1,从而f¢(x)=.18.证明:双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2.解由xy=a2得,.设(x0,y0)为曲线上任一点,则过该点的切线方程为.令y=0,并注意x0y0=a2,解得,为切线在x轴上的距.令x=0,并注意x0y0=a2,解得,为切线在y轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为.习题2-21.推导余切函数及余割函数的导数公式:(cotx)¢=-csc2x;(cscx)¢=-cscxcotx.解..2.求下列函数的导数:(1);(2)y=5x3-2x+3ex;(3)y=2tanx+secx-1;(4)y=sinx×cosx;(5)y=x2lnx;(6)y=3excosx;(7);(8);(9)y=x2lnxcosx;(10);解(1).(2)y¢=(5x3-2x+3ex)¢=15x2-2xln2+3ex.(3)y¢=(2tanx+secx-1)¢=2sec2x+secx×tanx=secx(2secx+tanx).(4)y¢=(sinx×cosx)¢=(sinx)¢×cosx+sinx×(cosx)¢=cosx×cosx+sinx×(-sinx)=cos2x.(5)y¢=(x2lnx)¢=2x×lnx+x2×=x(2lnx+1).(6)y¢=(3excosx)¢=3ex×cosx+3ex×(-sinx)=3ex(cosx-sinx).(7).(8).(9)y¢=(x2lnxcosx)¢=2x×lnxcosx+x2××cosx+x2lnx×(-sinx)2xlnxcosx+xcosx-x2lnxsinx.(10).3.求下列函数在给定点处的导数:(1)y=sinx-cosx,求和.(2),求.(3),求f¢(0)和f¢(2).解(1)y¢=cosx+sinx,,.(2),.(3),,.4.以初速v0竖直上抛的...
