三角运算及三角不等式

――三角运算及三角不等关系三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。三角运算一．三角运算的常规思考三角运算主权涉及 3 个主要变形：角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这 3 个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。例 1．已知, 都是钝角，且sin 例 2．设,  为锐角，且sin 2123，cos( ) ，求sin 135  sin 2   sin(  ) ，求证：    2 。二．三角变换与方程数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。例 3．已知三．三角变换与构造法通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题例 5．求cos例 6．求值：cos 10  cos 50  sin 40sin80例 7．已知： A1 cos1  A2 cos2  An cosn  0A1 cos(1 1)  A2 cos(2 1)  An cos(n 1)  0求证：对任意   R ，恒有 A1 cos(1  )  A2 cos(2  )  An cos(n  )  0 。22sin  sin   b22（a  b  4 ），求sin(  ) ，cos(  ) 。cos  cos  a24 cos的值。55例 8 求满足等式 15 12cos x 7  4 3 sin x  4 的锐角 x 。四．三角法引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。2aba  ba 2  b2例 9．已知a  b  0 ，求证：。ab a  b22例 10．在△ ABC 中， P 为形内一点， PD 、 PE 、 PF 为 P 到三边 BC 、CA 、 AB 的距离，求证： PA  PB  PC  2(PD  PE  PF)例 11．求函数 y x  4  15  3x 的值域。三角不等关系这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最值。这...