不定积分换元法例题

【不定积分的第一类换元法】已知 f (u)du  F(u) C f ((x)) '(x)dx   f ((x))d(x)【凑微分】 f (u)du  F(u) C【做变换，令u  (x) ，再积分】 F( (x))  C【变量还原，u  (x) 】求 g(x)dx 【求不定积分 g(x)dx 的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式： g(x)dx （2）凑微分： g(x)dx  f ((x))'(x)dx f ((x)) '(x)dx   f ((x))d(x) f ((x))'(x)dx   f ((x))d(x)   f (u)du（3）作变量代换u  (x) 得： g(x)dx （4）利用基本积分公式 f (u)du  F(u) C 求出原函数： g(x)dx   f ((x)) '(x)dx   f ((x))d(x)   f (u)du  F(u)  C g(x)dx   f ((x)) '(x)dx   f ((x))d(x)   f (u)du  F(u) C  F( (x))  C（5）将u  (x) 代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量u  (x) ，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。__________________________________________________________________________________________【第一换元法例题】1、 (5x  7) dx (5x  7) dx  (5x  7) d(5x  7) 999 1519(5x  7) d(5x  7)51111(5x  7)9d(5x  7) (5x  7)10  C (5x  7)10  C55 10501【注】(5x  7)'  5,  d(5x  7)  5dx,  dx d(5x  7)5ln x1dx ln xxx dx  ln xd ln x11 ln xd ln x (ln x)2  C (ln x)2  C22111【注】(ln x)' ,  d(ln x) dx, dx  d(ln x)xxx2、3（1） tan xdx sin xsin xdxd cos xd cos xdx  cos xcos xcos xcos x  d cos x  ln | cos x | C  ln | cos x | Ccos x【注】(cos x)'  sin x,  d(cos x)  sin xdx,  sin xdx  d(cos x)3（2） cot xdx cos xcos xdxd sin xdx sin xsin xsin x  d sin x  ln | sin x | C  ...