第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例 1】 已知 、 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 2 ( 2 2) 的值为．思路点拨所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例 2】如果a 、b 都是质数，且a 2 13a m 0 ，b 2 13b m 0 ，那么A． 123125125123B．或 2C．D．或 222222222ba的值为()ab思路点拨可将两个等式相减，得到 a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程 x 2 13x m 0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1 、 x2 的对称式，这类问题可通过变形用x1 + x2 、 x1 x2 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．m2 0【例 3】 已知关于 x 的方程： x (m 2)x 4(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．2(2)若这个方程的两个实根 x1 、 x2 满足 x2 x1 2 ，求 m 的值及相应的 x1 、 x2 ．思路点拨 对于(2)，先判定 x1 、 x2 的符号特征，并从分类讨论入手．x12 x22【例 4】设 x1 、当 m 为何值时，x2 是方程 2x 2 4mx 2m2 3m 2 0 的两个实数根，有最小值?并求出这个最小值．思路点拨 利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例 5...
